background image

5.4. PROXIMITY SPACES

96

Proposition

567

.

Every closure generated by a proximity is a Kuratowski

closure.

Proof.

First prove it is a preclosure. cl(

) =

is obvious.cl(

A

)

A

is obvious.

cl(

A

B

) =

a

U

{

a

}

δ A

B

=

a

U

{

a

}

δ A

∨ {

a

}

δ B

=

a

U

{

a

}

δ A

a

U

{

a

}

δ B

=

cl(

A

)

cl(

B

)

.

It is remained to prove that cl is idempotent, that is cl(cl(

A

)) = cl(

A

). It is

enough to show cl(cl(

A

))

cl(

A

) that is if

x /

cl(

A

) then

x /

cl(cl(

A

)).

If

x /

cl(

A

) then

{

x

}

¯

δ A

. So there are

P, Q

P

U

such that

{

x

}

¯

δ P

,

A

¯

δ Q

,

P

Q

=

U

. Then

U

\

Q

P

, so

{

x

}

¯

δ U

\

Q

and hence

x

Q

. Hence

U

\

cl(

A

)

Q

,

and so cl(

A

)

U

\

Q

P

. Consequently

{

x

}

¯

δ

cl(

A

) and hence

x /

cl(cl(

A

)).