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5.4. PROXIMITY SPACES

95

If

τ

is the pretopology induced by topology

π

, in turn induced by a Kuratowski

closure

ρ

, then

τ

=

ρ

.

cl

τ

(

A

) =

\

X

P

U

X

is a closed set in

π, X

A

=

\

X

P

U

cl

ρ

(

X

) =

X, X

A

=

\

cl

ρ

(

X

)

X

P

U,

cl

ρ

(

X

) =

X, X

cl

ρ

(

A

)

=

\

cl

ρ

(cl

ρ

(

X

))

X

=

A

=

cl

ρ

(cl

ρ

(

A

)) =

cl

ρ

(

A

)

.

5.3.1.3.

Topology induced by a metric.

Definition

560

.

Every metric space induces a topology in this way: A set

X

is open iff

x

X

 >

0 :

B

r

(

x

)

X.

Exercise

561

.

Prove it is really a topology and this topology is the same as

the topology, induced by the pretopology, in turn induced by our metric space.

5.4. Proximity spaces

Let (

U

;

d

) be metric space. We will define

distance

between sets

A, B

P

U

by the formula

d

(

A, B

) = inf

d

(

a, b

)

a

A, b

B

.

(Here “inf” denotes infimum on the real line.)

Definition

562

.

Sets

A, B

P

U

are

near

(denoted

A δ B

) iff

d

(

A, B

) = 0.

δ

defined in this way (for a metric space) is an example of proximity as defined

below.

Definition

563

.

A

proximity space

is a set (

U

;

δ

) conforming to the following

axioms (for every

A, B, C

P

U

):

1

.

A

B

6

=

∅ ⇒

A δ B

;

2

. if

A δ B

then

A

6

=

and

B

6

=

;

3

.

A δ B

B δ A

(

symmetry

);

4

. (

A

B

)

δ C

A δ C

B δ C

;

5

.

C δ

(

A

B

)

C δ A

C δ B

;

6

.

A

¯

δ B

implies existence of

P, Q

P

U

with

A

¯

δ P

,

B

¯

δ Q

and

P

Q

=

U

.

Exercise

564

.

Show that proximity generated by a metric space is really a

proximity (conforms to the above axioms).

Definition

565

.

Quasi-proximity

is defined as the above but without the sym-

metry axiom.

Definition

566

.

Closure is generated by a proximity by the following formula:

cl(

A

) =

a

U

{

a

}

δ A

.