background image

5.3. TOPOLOGICAL SPACES

94

Proposition

556

.

The preclosure and the pretopology defined in this section

above correspond to each other (by the formulas from theorem

543

).

Proof.

We need to prove cl(

A

) =

n

x

U

∆(

x

)

6↑

U

A

o

, that is

\

X

P

U

X

is a closed set

, X

A

=

x

U

d

n

U

X

X

∈O

,x

X

o

6↑

U

A

.

Equivalently transforming it, we get:

\

X

P

U

X

is a closed set

, X

A

=

x

U

X

∈ O

: (

x

X

⇒↑

U

X

6↑

U

A

)

\

X

P

U

X

is a closed set

, X

A

=

x

U

X

∈ O

: (

x

X

X

6

A

)

.

Thus

x

\

X

P

U

X

is a closed set

, X

A

X

P

U

: (

X

is a closed set

X

A

x

X

)

X

0

∈ O

: (

U

\

X

0

A

x

U

\

X

0

)

X

0

∈ O

: (

X

0

A

x /

X

0

)

X

∈ O

: (

x

X

X

6

A

)

.

So our equivalence holds.

Proposition

557

.

If

τ

is the topology induced by pretopology

π

, in turn

induced by topology

ρ

, then

τ

=

ρ

.

Proof.

The set of closed sets of

τ

is

A

P

U

cl

π

(

A

) =

A

=

A

P

U

T

n

X

P

U

X

is a closed set in

ρ,X

A

o

=

A

=

A

P

U

A

is a closed set in

ρ

(taken into account that intersecting closed sets is a closed set).

Definition

558

.

Idempotent closures are called

Kuratowski closures

.

Theorem

559

.

The above defined correspondences between topologies and

pretopologies, restricted to Kuratowski closures, is a bijection.

Proof.

Taking into account the above proposition, it’s enough to prove that: