background image

5.3. TOPOLOGICAL SPACES

92

5.3. Topological spaces

Proposition

546

.

For the set of open sets of a metric space (

U

;

d

) it holds:

1

. Union of any (possibly infinite) number of open sets is an open set.

2

. Intersection of a finite number of open sets is an open set.

3

.

U

is an open set.

Proof.

Let

S

be a set of open sets. Let

a

S

S

. Then there exists

A

S

such

that

a

A

. Because

A

is open we have

B

r

(

a

)

A

for some

r >

0. Consequently

B

r

(

a

)

S

S

that is

S

S

is open.

Let

A

0

, . . . , A

n

be open sets. Let

a

A

0

∩ · · · ∩

A

n

for some

n

N

. Then there

exist

r

i

such that

B

r

i

(

a

)

A

i

. So

B

r

(

a

)

A

0

∩ · · · ∩

A

n

for

r

= min

{

r

0

, . . . , r

n

}

that is

A

0

∩ · · · ∩

A

n

is open.

That

U

is an open set is obvious.

The above proposition suggests the following definition:

Definition

547

.

A

topology

on a set

U

is a collection

O

(called the set of

open

sets

) of subsets of

U

such that:

1

. Union of any (possibly infinite) number of open sets is an open set.

2

. Intersection of a finite number of open sets is an open set.

3

.

U

is an open set.

The pair (

U

;

O

) is called a

topological space

.

Remark

548

.

From the above it is clear that every metric induces a topology.

Proposition

549

.

Empty set is always open.

Proof.

Empty set is union of an empty set.

Definition

550

.

A

closed set

is a complement of an open set.

Topology can be equivalently expresses in terms of closed sets:

A

topology

on a set

U

is a collection (called the set of

closed sets

) of subsets of

U

such that:

1

. Intersection of any (possibly infinite) number of closed sets is a closed set.

2

. Union of a finite number of closed sets is a closed set.

3

.

is a closed set.

Exercise

551

.

Show that the definitions using open and closed sets are equiv-

alent.

5.3.1. Relationships between pretopologies and topologies.

5.3.1.1.

Topological space induced by preclosure space.

Having a preclosure

space (

U

; cl) we define a topological space whose closed sets are such sets

A

P

U

that cl(

A

) =

A

.

Proposition

552

.

This really defines a topology.

Proof.

Let

S

be a set of closed sets. First, we need to prove that

T

S

is

a closed set. We have cl(

T

S

)

A

for every

A

S

. Thus cl(

T

S

)

T

S

and

consequently cl(

T

S

) =

T

S

. So

T

S

is a closed set.

Let now

A

0

, . . . , A

n

be closed sets, then

cl(

A

0

∪ · · · ∪

A

n

) = cl(

A

0

)

∪ · · · ∪

cl

(

A

n

) =

A

0

∪ · · · ∪

A

n

that is

A

0

∪ · · · ∪

A

n

is a closed set.

That

is a closed set is obvious.