background image

5.2. PRETOPOLOGICAL SPACES

90

Definition

536

.

Closure cl(

A

) of a set

A

in a metric space is the set of points

y

such that

 >

0

a

A

:

d

(

y, a

)

< .

Proposition

537

.

cl(

A

)

A

.

Proof.

It follows from

d

(

a, a

) = 0

.

Exercise

538

.

Prove cl(

A

B

) = cl(

A

)

cl(

B

) for every subsets

A

and

B

of

a metric space.

5.1.2. Continuity.

Definition

539

.

A function

f

from a metric space

A

to a metric space

B

is

called

continuous

at point

a

A

when

FiXme

: Show how it is related with continuity

in pretopological and preclosure spaces.

 >

0

δ >

0

x

A

: (

d

(

a, x

)

< δ

d

(

f

(

a

)

, f

(

x

))

)

.

Definition

540

.

A function

f

is called

continuous

when it is continuous at

every point of its domain.

5.2. Pretopological spaces

Pretopological space

can be defined in two equivalent ways: a

neighborhood

system

or a

preclosure operator

. To be more clear I will call

pretopological space

only the first (neighborhood system) and the second call a

preclosure space

.

Definition

541

.

Pretopological space

is a set

U

together with a filter ∆(

x

) on

U

for every

x

U

, such that

U

{

x

} v

∆(

x

). ∆(

x

) is called a

pretopology

on

U

.

Definition

542

.

Preclosure

on a set

U

is an unary operation cl on

P

U

such

that for every

A, B

P

U

:

1

. cl(

) =

;

2

. cl(

A

)

A

;

3

. cl(

A

B

) = cl(

A

)

cl(

B

).

I call a preclosure together with a set

U

as

preclosure space

.

Theorem

543

.

Small pretopological spaces and small preclosure spaces bijec-

tively correspond to each other by the formulas:

cl(

A

) =

x

U

A

∆(

x

)

;

(1)

∆(

x

) =

A

P

U

x /

cl(

U

\

A

)

.

(2)

Proof.

First let’s prove that cl defined by formula (

1

is really a preclosure.

cl(

) =

is obvious. If

x

A

then

A

∆(

x

) and so cl(

A

)

A

. cl(

A

B

) =

n

x

U

A

B

∆(

x

)

o

=

n

x

U

A

∆(

x

)

B

∆(

x

)

o

= cl(

A

)

cl(

B

). So, it is really a preclosure.

Next let’s prove that ∆ defined by formula (

2

is a pretopology. That ∆(

x

) is

an upper set is obvious. Let

A, B

∆(

x

). Then

x /

cl(

U

\

A

)

x /

cl(

U

\

B

);

x /

cl(

U

\

A

)

cl(

U

\

B

) = cl((

U

\

A

)

(

U

\

B

)) = cl(

U

\

(

A

B

));

A

B

∆(

x

).

We have proved that ∆(

x

) is a filter.

Let’s prove

U

{

x

} v

∆(

x

). If

A

∆(

x

) then

x /

cl(

U

\

A

) and consequently

x /

U

\

A

;

x

A

;

A

∈↑

U

{

x

}

. So

U

{

x

} v

∆(

x

) and thus ∆ is a pretopology.

It is left to prove that the functions defined by the above formulas are mutually

inverse.