background image

1.7. STRUCTURE OF THIS BOOK

9

[

10

studies mappings between proximity structures. (In this volume no at-

tempt to research mappings between funcoids is done.) [

25

researches relationships

of quasi-uniform spaces and topological spaces. [

1

studies how proximity structures

can be treated as uniform structures and compactification regarding proximity and

uniform spaces.

This book is based partially on my articles [

29

,

27

,

28

].

FiXme

: Add more

references to my articles.

In [

29

I introduced the concept of

filter objects

. This was probably not a very

good idea. In this work I instead use plain filters (not filter objects) and

t

and

u

notation for joins and meets instead of

and

, which may be confused with set

theoretic operations, for lattices in consideration (and for the lattice of filters the

order is reverse to the set theoretic inclusion). Also this work differs from [

29

in

using in some formulations the lattice of principal filters which is isomorphic to the

base poset instead of using the base poset itself (what was possible in [

29

thanks to

using filter objects). I’ve replaced (

F

;

A

) notation for primary filtrators with (

F

;

Z

)

for consistency of notation among sections.

1.6. Kinds of continuity

A research result based on this book but not fully included in this book (and

not yet published) is that the following kinds of continuity are described by the

same algebraic (or rather categorical) formulas for different kinds of continuity and

have common properties:

discrete continuity (between digraphs);

(pre)topological continuity;

proximal continuity;

uniform continuity;

Cauchy continuity;

(probably other kinds of continuity).

Thus my research justifies using the same word “continuity” for these diverse kinds

of continuity.

See

http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html

1.7. Structure of this book

In the chapter

Common knowledge, part 1

some well known definitions and

theories are considered. You may skip its reading if you already know it. That

chapter contains info about:

posets;

lattices and complete lattices;

Galois connections;

co-brouwerian lattices;

a very short intro into category theory (It is very basic, I even don’t define

functors as they have no use in my theory);

a very short introduction to group theory.

Afterward there are my little additions to poset/lattice and category theory.

Afterward there is the theory of filters and filtrators.

Then there is

Common knowledge, part 2 (topology)

which considers briefly:

metric spaces;

topological spaces;

pretopological spaces;

proximity spaces.