background image

CHAPTER 5

Common knowledge, part 2 (topology)

In this chapter I describe basics of the theory known as

general topology

. Start-

ing with the next chapter after this one I will describe generalizations of customary

objects of general topology described in this chapter.

The reason why I’ve written this chapter is to show to the reader kinds of objects

which I generalize below in this book. For example, funcoids and a generalization of

proximity spaces, and funcoids are a generalization of pretopologies. To understand

the intuitive meaning of funcoids one needs first know what are proximities and

what are pretopologies.

Having said that, customary topology is

not

used in my definitions and proofs

below. It is just to feed your intuition.

5.1. Metric spaces

The theory of topological spaces started immediately with the definition would

be completely non-intuitive for the reader. It is the reason why I first describe

metric spaces and show that metric spaces give rise for a topology (see below).

Topological spaces are understandable as a generalization of topologies induced by

metric spaces.

Metric spaces

is a formal way to express the notion of

distance

. For example,

there are distance

|

x

y

|

between real numbers

x

and

y

, distance between points

of a plane, etc.

Definition

530

.

A

metric space

is a set

U

together with a function

d

:

U

×

U

R

(

distance

) such that for every

x, y, z

U

:

1

.

d

(

x, y

)

0;

2

.

d

(

x, y

) = 0

x

=

y

;

3

.

d

(

x, y

) =

d

(

y, x

) (

symmetry

);

4

.

d

(

x, z

)

d

(

x, y

) +

d

(

y, z

) (

triangle inequality

).

Exercise

531

.

Show that the Euclid space

R

n

(with the standard distance) is

a metric space for every

n

N

.

Definition

532

.

Open ball

of

radius

r >

0 centered at point

a

U

is the set

B

r

(

a

) =

x

U

d

(

a, x

)

< r

.

Definition

533

.

Closed ball

of

radius

r >

0 centered at point

a

U

is the set

B

r

[

a

] =

x

U

d

(

a, x

)

r

.

5.1.1. Open and closed sets.

Definition

534

.

A set

A

in a metric space is called

open

when

a

A

r >

0 :

B

r

(

a

)

A

.

Definition

535

.

A set

A

in a metric space is closed when its complement

U

\

A

is open.

89