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4.6. OPEN PROBLEMS ABOUT FILTERS

87

If

 F

F

X

X

P

S

is closed under arbitrary meets and joins, then it is the complete

lattice generated by the set

S

because it cannot be smaller than the set of all

suprema of subsets of

S

.

That

 F

F

X

X

P

S

is closed under arbitrary joins is trivial. I have not succeeded

to prove that it is closed under arbitrary meets, but have proved a weaker statement

that is is closed under finite meets:

Proposition

528

.

 F

F

X

X

P

S

is closed under finite meets.

Proof.

Let

R

=

 F

F

X

X

P

S

. Then for every

X, Y

P

S

F

G

X

u

F

F

G

Y

=

F

G

((

X

Y

)

(

X

\

Y

))

u

F

F

G

Y

=

 

F

G

(

X

Y

)

t

F

F

G

(

X

\

Y

)

!

u

F

F

G

Y

=

 

F

G

(

X

Y

)

u

F

F

G

Y

!

t

F

 

F

G

(

X

\

Y

)

u

F

F

G

Y

!

=

 

F

G

(

X

Y

)

u

F

F

G

Y

!

t

F

F

=

F

G

(

X

Y

)

u

F

F

G

Y.

Applying the formula

F

F

X

u

F

F

F

Y

=

F

F

(

X

Y

)

u

F

F

F

Y

twice we get

F

G

X

u

F

F

G

Y

=

F

G

(

X

Y

)

u

F

F

G

(

Y

(

X

Y

)) =

F

G

(

X

Y

)

u

F

F

G

(

X

Y

) =

F

G

(

X

Y

)

.

But for any

A, B

R

there exist

X, Y

P

S

such that

A

=

F

F

X

,

B

=

F

F

Y

.

So

A

u

F

B

=

F

F

X

u

F

F

Y

=

F

F

(

X

Y

)

R

.

4.6.2. Quasidifference.

Conjecture

529

.

a

\

b

=

F

n

a

u↑

(

U

\

B

)

B

b

o

for all

a, b

F

for each lattice

F

of

filters on a set

U

.

4.6.3. Non-Formal Problems.

Find a common generalization of two theo-

rems:

1

. If

Z

is a meet-semilattice with greatest element then for any

A

,

B ∈

F

A t

F

B

=

A ∩ B

.