 4.6. OPEN PROBLEMS ABOUT FILTERS

86

So there exist two different

F ∈

K

such that

A

∈ F

. Consequently

∃F ∈

K

\ {G}

:

A

∈ F

that is

F

(

K

\ {G}

) = Ω.

Example

522

.

There exists a filter on a set which cannot be weakly partitioned

into ultrafilters.

Proof.

Consider cofinite filter Ω on any infinite set.

Suppose

K

is its weak partition into ultrafilters. Then

x

F

(

K

\ {

x

}

) for

some ultrafilter

x

K

.

We have

F

(

K

\ {

x

}

)

@

F

K

(otherwise

x

v

F

(

K

\ {

x

}

)) what is impossible

due the last lemma.

Corollary

523

.

There exists a filter on a set which cannot be strongly par-

titioned into ultrafilters.

4.6. Open problems about filters

In this section, I will formulate some conjectures about lattices of filters on

a set. If a conjecture comes true, it may be generalized for more general lattices

(such as, for example, lattices of filters on arbitrary lattices). I deem that the

main challenge is to prove the special case about lattices of filters on a set, and

generalizing the conjectures is expected to be an easy task.

4.6.1. Partitioning.

Consider the complete lattice [

S

] generated by the set

S

where

S

is a strong partition of some element

a

.

Conjecture

524

.

[

S

] =

F

F

X

X

P

S

, where [

S

] is the complete lattice generated

by a strong partition

S

of filter on a set.

Consider also the similar conjecture with weak partition instead strong parti-

tion.

FiXme

: Formulate that conjecture and related statements explicitly.

Proposition

525

.

Provided that the last conjecture is true, we have that [

S

]

is a complete atomic boolean lattice with the set of its atoms being

S

.

Remark

526

.

Consequently [

S

] is atomistic, completely distributive and iso-

morphic to a power set algebra (see [

39

]).

Proof.

Completeness of [

S

] is obvious. Let

A

[

S

]. Then there exists

X

P

S

such that

A

=

F

F

X

. Let

B

=

F

F

(

S

\

X

). Then

B

[

S

] and

A

u

F

B

=

F

.

A

t

F

B

=

F

F

S

is the greatest element of [

S

]. So we have proved that [

S

] is a

boolean lattice.

Now let prove that [

S

] is atomic with the set of atoms being

S

. Let

z

S

and

A

[

S

]. If

A

6

=

z

then either

A

=

F

or

x

X

where

A

=

F

F

X

,

X

P

S

and

x

6

=

z

. Because

S

is a partition,

F

F

(

X

\ {

z

}

)

u

F

z

=

F

and

F

F

(

X

\ {

z

}

)

6

=

F

.

So

A

=

F

F

X

=

F

F

(

X

\ {

z

}

)

t

F

z

6v

z

.

Finally we will prove that elements of [

S

]

\

S

are not atoms. Let

A

[

S

]

\

S

and

A

6

=

. Then

A

w

x

t

F

y

where

x, y

S

and

x

6

=

y

. If

A

is an atom then

A

=

x

=

y

what is impossible.

Proposition

527

.

The conjecture about the value of [

S

] is equivalent to closed-

ness of

F

F

X

X

P

S

under arbitrary meets and joins.

Proof.

If

F

F

X

X

P

S

= [

S

] then trivially

F

F

X

X

P

S

is closed under arbitrary

meets and joins.