background image

4.5. SOME COUNTER-EXAMPLES

85

But this can be easily accomplished taking

F

having zero or one element in

each of intervals to which

r

1

, . . . , r

k

, s

1

, . . . , s

k

split the real line.

Example

519

.

There exists a weak partition of a filter on a set which is not a

strong partition.

Proof.

(suggested by

Andreas Blass

) Let

X

r

r

R

 

an independent family of

subsets of

N

. We can assume

a

6

=

b

X

a

6

=

X

b

due the above lemma.

Let

F

a

be a filter generated by

X

a

and the complements

N

\

X

b

for all

b

R

,

b

6

=

a

. Independence implies that

F

a

6

=

F

(by properties of filter bases).

Let

S

=

F

r

r

R

 

. We will prove that

S

is a weak partition but not a strong

partition.

Let

a

R

. Then

X

a

∈ F

a

while

b

R

\ {

a

}

:

N

\

X

a

∈ F

b

and therefore

N

\

X

a

F

F

n

F

b

R

3

b

6

=

a

o

. Therefore

F

a

u

F

F

F

n

F

b

R

3

b

6

=

a

o

=

F

. Thus

S

is a weak

partition.

Suppose

S

is a strong partition. Then for each set

Z

P

R

F

G

F

b

b

Z

u

F

F

G

F

b

b

R

\

Z

=

F

what is equivalent to existence of

M

(

Z

)

P

N

such that

M

(

Z

)

F

G

F

b

b

Z

and

N

\

M

(

Z

)

F

G

F

b

b

R

\

Z

that is

b

Z

:

M

(

Z

)

∈ F

b

and

b

R

\

Z

:

N

\

M

(

Z

)

∈ F

b

.

Suppose

Z

6

=

Z

0

P

N

. Without loss of generality we may assume that some

b

Z

but

b /

Z

0

. Then

M

(

Z

)

∈ F

b

and

N

\

M

(

Z

0

)

∈ F

b

. If

M

(

Z

) =

M

(

Z

0

) then

F

b

=

F

what contradicts to the above.

So

M

is an injective function from

P

R

to

P

N

what is impossible due cardi-

nality issues.

Lemma

520

.

(by

Niels Diepeveen

, with help of

Karl Kronenfeld

) Let

K

be a collection of free ultrafilters. We have

F

K

= Ω iff

∃G ∈

K

:

A

∈ G

for every

infinite set

A

.

Proof.

. Suppose

F

K

= Ω and let

A

be a set such that

@

G ∈

K

:

A

∈ G

. Let’s prove

A

is finite.

Really,

∀G ∈

K

:

U

\

A

∈ G

;

U

\

A

Ω;

A

is finite.

. Let

∃G ∈

K

:

A

∈ G

. Suppose

A

is a set in

F

K

.

To finish the proof it’s enough to show that

U

\

A

is finite.

Suppose

U

\

A

is infinite. Then

∃G ∈

K

:

U

\

A

∈ G

;

∃G ∈

K

:

A /

∈ G

;

A /

F

K

, contradiction.

Lemma

521

.

(by

Niels Diepeveen

) If

K

is a non-empty set of ultrafilters

such that

F

K

= Ω, then for every

G ∈

K

we have

F

(

K

\ {G}

) = Ω.

Proof.

∃F ∈

K

:

A

∈ F

for every infinite set

A

.

The set

A

can be partitioned into two infinite sets

A

1

,

A

2

.

Take

F

1

,

F

2

K

such that

A

1

∈ F

1

,

A

2

∈ F

2

.

F

1

6

=

F

2

because otherwise

A

1

and

A

2

are not disjoint.

Obviously

A

∈ F

1

and

A

∈ F

2

.