background image

4.5. SOME COUNTER-EXAMPLES

84

Proof.

Let

M

be the set of finite subsets of

U

.

X

u

F

v↑

Y

u

F

X

K

X

K

X

Y

K

Y

K

Y

K

Y

K

X

Ω :

Y

K

Y

=

X

K

X

L

Y

M

L

X

M

:

Y

\

L

Y

=

X

\

L

X

L

Y

M

:

X

\

(

Y

\

L

Y

)

M

X

\

Y

M.

Example

515

.

There exists a filter

A

on a set

U

such that (

P

U

)

/

and

Z

(

D

A

) are not complete lattices.

Proof.

Due to the isomorphism it is enough to prove for (

P

U

)

/

.

Let take

U

=

N

and

A

= Ω be the Fréchet filter on

N

.

Partition

N

into infinitely many infinite sets

A

0

, A

1

, . . .

. To withhold our ex-

ample we will prove that the set

{

[

A

0

]

,

[

A

1

]

, . . .

}

has no supremum in (

P

U

)

/

.

Let [

X

] be an upper bound of [

A

0

]

,

[

A

1

]

, . . .

that is

i

N

:

X

u

F

w↑

A

i

u

F

that is

A

i

\

X

is finite. Consequently

X

is infinite. So

X

A

i

6

=

.

Choose for every

i

N

some

z

i

X

A

i

. The

{

z

0

, z

1

, . . .

}

is an infinite subset

of

X

(take into account that

z

i

6

=

z

j

for

i

6

=

j

). Let

Y

=

X

\ {

z

0

, z

1

, . . .

}

. Then

Y

u

F

w↑

A

i

u

F

Ω because

A

i

\

Y

=

A

i

\

(

X

\ {

z

i

}

) = (

A

i

\

X

)

∪ {

z

i

}

which is

finite because

A

i

\

X

is finite. Thus [

Y

] is an upper bound for

{

[

A

0

]

,

[

A

1

]

, . . .

}

.

Suppose

Y

u

F

Ω =

X

u

F

Ω. Then

Y

\

X

is finite what is not true. So

Y

u

F

@

X

u

F

Ω that is [

Y

] is below [

X

].

4.5.1. Weak and Strong Partition.

Definition

516

.

A family

S

of subsets of a countable set is

independent

iff the

intersection of any finitely many members of

S

and the complements of any other

finitely many members of

S

is infinite.

Lemma

517

.

The “infinite” at the end of the definition could be equivalently

replaced with “nonempty” if we assume that

S

is infinite.

Proof.

Suppose that some sets from the above definition has a finite inter-

section

J

of cardinality

n

. Then (thanks

S

is infinite) get one more set

X

S

and

we have

J

X

6

=

and

J

(

N

\

X

)

6

=

. So card(

J

X

)

< n

. Repeating this,

we prove that for some finite family of sets we have empty intersection what is a

contradiction.

Lemma

518

.

There exists an independent family on

N

of cardinality

c

.

Proof.

Let

C

be the set of finite subsets of

Q

. Since card

C

= card

N

, it

suffices to find

c

independent subsets of

C

. For each

r

R

let

E

r

=

F

C

card(

F

(

−∞

;

r

)) is even

.

All

E

r

1

and

E

r

2

are distinct for distinct

r

1

, r

2

R

since we may consider

F

=

{

r

0

} ∈

C

where a rational number

r

0

is between

r

1

and

r

2

and thus

F

is a

member of exactly one of the sets

E

r

1

and

E

r

2

. Thus card

E

r

r

R

 

=

c

.

We will show that

E

r

r

R

 

is independent. Let

r

1

, . . . , r

k

, s

1

, . . . , s

k

be distinct

reals. It is enough to show that these have a nonempty intersection, that is existence

of some

F

such that

F

belongs to all the

E

r

and none of

E

s

.