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4.5. SOME COUNTER-EXAMPLES

83

Figure 1.

1

a

x

y

0

Proof.

The lattice with the Hasse diagram

2

on figure

1

is bounded and dis-

tributive because it does not contain “diamond lattice” nor “pentagon lattice” as a

sublattice [

40

].

It’s center is

{

0

,

1

}

.

x

u

y

= 0 despite up

x

=

{

x, a,

1

}

but

y

u

1

6

=

consequently

the lattice is not with separable center.

For further examples we will use the filter ∆ defined by the formula

∆ =

F

l

(

;

)

R

,  >

0

and more general

∆ +

a

=

F

l

(

a

;

a

+

)

R

,  >

0

.

Example

511

.

There exists

A

P

U

such that

d

F

h↑i

A

6

=

T

A

.

Proof.

T

n

(

;

)

R

,>

0

o

=

↑ {

0

} 6

= ∆.

Example

512

.

There exists a set

U

and a filter

a

and a set

S

of filters on the

set

U

such that

a

u

F

F

F

S

6

=

F

F

a

u

F

S

.

Proof.

Let

a

= ∆ and

S

=

h↑i

n

(

;+

)

>

0

o

. Then

a

u

F

F

F

S

= ∆

u ↑

(0; +

)

6

=

F

while

F

F

a

u

F

S

=

F

F

{⊥

F

}

=

F

.

Example

513

.

There are tornings which are not weak partitions.

Proof.

∆+

a

a

R

 

is a torning but not weak partition of the real line.

Lemma

514

.

Let

F

be the set of filters on a set

U

. Then

X

u

F

v↑

Y

u

F

iff

X

\

Y

is a finite set, for every sets

X, Y

P

U

.

2

See Wikipedia for a definition of Hasse diagrams.