background image

4.4. FILTERS ON A SET

81

Conjecture

497

.

a

\

b

=

a

#

b

for arbitrary filters

a

,

b

on powersets is not

provable in ZF (without axiom of choice).

4.4.1. Fréchet Filter.

The consideration below is about filters on a set

U

,

but this can be generalized for filters on complete atomic boolean algebras due

complete atomic boolean algebras are isomorphic to algebras of sets on some set

U

.

Definition

498

.

Ω =

n

U

\

X

X

is a finite subset of

U

o

is called either

Fréchet filter

or

cofinite filter

.

It is trivial that Fréchet filter is a filter.

Proposition

499

.

Cor Ω =

P

;

T

Ω =

.

Proof.

This can be deduced from the formula

α

U

X

Ω :

α /

X

.

Theorem

500

.

max

X ∈

F

Cor

X

=

P

 

= max

X ∈

F

T

X

=

= Ω.

Proof.

Due the last proposition, it is enough to show that Cor

X

=

P

X v

Ω for every filter

X

.

Let Cor

X

=

P

for some filter

X

. Let

X

Ω. We need to prove that

X

∈ X

.

X

=

U

\ {

α

0

, . . . , α

n

}

.

U

\ {

α

i

} ∈ X

because otherwise

α

i

∈↑

1

Cor

X

. So

X

∈ X

.

Theorem

501

.

Ω =

F

F

x

x

is a non-trivial ultrafilter

 

.

Proof.

It follows from the facts that Cor

x

=

P

for every non-trivial ultra-

filter

x

, that

F

is an atomistic lattice, and the previous theorem.

Theorem

502

.

Cor is the lower adjoint of Ω

t

F

.

Proof.

Because both Cor and Ω

t

F

are monotone, it is enough (theorem

108

to prove (for every filters

X

and

Y

)

X v

t

F

Cor

X

and Cor(Ω

t

F

Y

)

v Y

.

Cor(Ω

t

F

Y

) = Cor Ω

t

P

Cor

Y

=

P

t

P

Cor

Y

= Cor

Y v Y

.

t

F

Cor

X w

Edg

X t

F

Cor

X

=

X

.

Corollary

503

.

Cor

X

=

X \

Ω for every filter on a set.

Proof.

By theorem

125

.

Corollary

504

.

Cor

F

F

S

=

F

F

h

Cor

i

S

for any set

S

of filters on a power-

set.

FiXme

:

Andreas Blass

provided a more elementary proof of this.

4.4.2. Number of Filters on a Set.

Definition

505

.

A collection

Y

of sets has finite intersection property iff in-

tersection of any finite subcollection of

Y

is non-empty.

The following was borrowed from [

7

]. Thanks to

Andreas Blass

for email

support about his proof.

Lemma

506

.

(by

Hausdorff

) For an infinite set

X

there is a family

F

of

2

card

X

many subsets of

X

such that given any disjoint finite subfamilies

A

,

B

, the

intersection of sets in

A

and complements of sets in

B

is nonempty.