background image

1.5. EARLIER WORKS

8

better to study funcoids than topological spaces. One of the main purposes of this

work is to present an alternative General Topology based on funcoids instead of

being based on topological spaces as it is customary. In order to study funcoids the

prior knowledge of topological spaces is not necessary. Nevertheless in this work

I will consider topological spaces and the topic of interrelation of funcoids with

topological spaces.

In fact funcoids are a generalization of topological spaces, so the well known

theory of topological spaces is a special case of the below presented theory of fun-

coids.

But probably the most important reason to study funcoids is that funcoids are

a generalization of proximity spaces (see section

Proximity spaces

for the definition

of proximity spaces). Before this work it was written that the theory of proximity

spaces was an example of a stalled research, almost nothing interesting was dis-

covered about this theory. It was so because the proper way to research proximity

spaces is to research their generalization, funcoids. And so it was stalled until dis-

covery of funcoids. That generalized theory of proximity spaces will bring us yet

many interesting results.

In addition to

funcoids

I research

reloids

. Using below defined terminology it

may be said that reloids are (basically) filters on Cartesian product of sets, and

this is a special case of uniform spaces. We don’t need to define uniform spaces in

this work, it is enough for the reader just to know that uniform spaces are certain

filters on direct product of sets.

Afterward we study some generalizations.

Somebody might ask, why to study it? My approach relates to traditional

general topology like complex numbers to real numbers theory. Be sure this will

find applications.

This book has a deficiency: It does not properly relate my theory with previous

research in general topology and does not consider deeper category theory prop-

erties. It is however OK for now, as I am going to do this study in later volumes

(continuation of this book).

Many proofs in this book may seem too easy and thus this theory not sophis-

ticated enough. But it is largely a result of a well structured digraph of proofs,

where more difficult results are made easy by reducing them to easier lemmas and

propositions.

1.5. Earlier works

Some mathematicians were researching generalizations of proximities and uni-

formities before me but they have failed to reach the right degree of generalization

which is presented in this work allowing to represent properties of spaces with

algebraic (or categorical) formulas.

Proximity structures were introduced by Smirnov in [

11

].

Some references to predecessors:

In [

14

,

15

,

24

,

2

,

33

generalized uniformities and proximities are studied.

Proximities and uniformities are also studied in [

21

,

22

,

32

,

34

,

35

].

[

19

,

20

contains recent progress in quasi-uniform spaces. [

20

has a very

long list of related literature.

Some works ([

31

]) about proximity spaces consider relationships of proximities and

compact topological spaces. In this work the attempt to define or research their

generalization, compactness of funcoids or reloids is not done. It seems potentially

productive to attempt to borrow the definitions and procedures from the above

mentioned works. I hope to do this study in a separate volume.