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4.4. FILTERS ON A SET

79

Proof.

By theorem

402

.

Proposition

475

.

The poset of filters on a set is separable.

Proof.

By obvious

403

.

Proposition

476

.

The poset of filters on a set is atomistic.

Proof.

By theorem

404

.

Proposition

477

.

The poset of filters on a set is atomically separable.

Proof.

By corollary

405

.

Proposition

478

.

The filtrator on a powerset is central.

Proof.

By theorem

406

.

Proposition

479

.

a

is an atom of

P

iff

a

P

and

a

is an atom of

F

for filters

on a set.

Proof.

By proposition

407

.

Proposition

480

.

a

F

is an atom of

F

iff up

a

=

∂a

for filters on a set.

Proof.

By proposition

408

.

Theorem

481

.

Let

a

be a filter on a set. Then the following are equivalent:

1

.

a

is prime.

2

. For every

A

Z

exactly one of

{

A, A

}

is in

a

.

3

.

a

is an atom of

F

.

Proof.

By theorem

410

.

Proposition

482

.

The following conditions are equivalent for every filter

F

on a set:

1

.

F ∈

P

;

2

.

S

P

F

:

F u

F

F

F

S

6

=

⊥ ⇒ ∃K ∈

S

:

F u

F

K 6

=

;

3

.

S

P

P

:

F u

F

F

F

S

6

=

⊥ ⇒ ∃

K

S

:

F u

F

K

6

=

.

Proof.

By proposition

411

.

Proposition

483

.

For every filter

F

on a set

F ∈

P

⇔ ∀

S

P

P

:

 

P

G

S

F ⇒

S

F 6

=

!

.

Proof.

By theorem

412

.

Theorem

484

.

For any

S

P

F

, where

F

are filters on a set, the condition

∃F ∈

F

:

S

=

?

F

is equivalent to conjunction of the following items:

1

.

S

is a free star on

F

;

2

.

S

is filter closed.

Proof.

By theorem

413

.

Proposition

485

.

Let

F

be filters on a set. Let

A ∈

F

. Then for each

X ∈

F

X ∈

Z

(

D

A

)

⇔ ∃

X

P

:

X

=

X

u

F

A

.

Proof.

By theorem

414

.