background image

4.4. FILTERS ON A SET

78

Proposition

462

.

If

S

is a generalized filter base of a filter

F

on a set

U

then

for any

K

P

U

K

∈ F ⇔ ∃L ∈

S

:

K

∈ L

.

Proof.

By theorem

388

.

Proposition

463

.

If

S

is a generalized filter base of a filter

F

on a set

U

then

F

S

⇔ F

=

F

.

Proof.

By corollary

389

.

Proposition

464

.

Let

S

be a nonempty set of filters on a set such that

F

0

u

F

· · · u

F

F

n

for every

F

0

, . . . ,

F

n

S

. Then

d

F

S

6

=

F

.

Proof.

By theorem

390

.

Proposition

465

.

Let

S

P

U

\ {∅}

where

U

is a set and

A

0

∩ · · · ∩

A

n

6

=

for every

A

0

, . . . , A

n

S

. Then

d

F

h↑i

S

6

=

F

.

Proof.

By corollary

391

.

Proposition

466

.

∂a

is a free star for each filter

a

on a set.

Proof.

By theorem

392

.

Proposition

467

.

For a filter

A

on a set:

X

up

A ⇔

X /

A

for every

X

P

,

A ∈

F

.

Proof.

By theorem

393

.

Proposition

468

.

For a filter

A

on a set:

1

.

A

=

n

X

X

P

\

up

A

o

;

2

. up

A

=

n

X

X

P

\

A

o

.

(where complement is taken on the boolean lattice

P

).

Proof.

By corollary

394

.

Proposition

469

.

is an injection for filters on sets.

FiXme

: Outdated theo-

rem, remove.

Proof.

By corollary

395

.

Proposition

470

.

For filters on a set: for any set

S

P

P

there exists a filter

A

such that

A

=

S

iff

S

is a free star.

FiXme

: Outdated theorem, remove.

Proof.

By theorem

396

.

Proposition

471

.

A v B ⇔

A ⊆

B

for every filters

A

,

B

on a set.

Proof.

By proposition

397

.

Proposition

472

.

is a straight monotone map for filters on a set.

FiXme

:

Outdated theorem, remove.

Proof.

By corollary

398

.

Proposition

473

.

F

F

S

=

S

h

i

S

for every

S

P

F

where

F

are filters on

a set.

Proof.

By theorem

399

.

Proposition

474

.

The poset of filters on a set is atomic.