background image

4.4. FILTERS ON A SET

77

Proof.

By theorem

366

.

Proposition

448

.

Cor

0

a

= Cor

a

=

Base(

a

)

T

a

for every filter

a

on a set.

Proof.

By proposition

367

.

Proposition

449

.

Cor

a

v

a

for every filter

a

on a set.

Proof.

By proposition

368

.

Proposition

450

.

Cor

a

= max down

a

for every filter

a

on a set.

Proof.

By proposition

369

.

Proposition

451

.

For the lattice

F

of filters on a set

U

,

A ∈

F

,

B

P

we

have:

1

.

B

F

A ⇔

B

w A

;

2

.

B

F

A ⇔

B

v A

.

Proof.

By theorem

370

.

Proposition

452

.

F

F

S

=

T

S

for a set

S

of filters on a powerset.

Proof.

By theorem

373

.

Corollary

453

.

A set of filters on a powerset is always a complete lattice.

Corollary

454

.

A t B

=

A ∩ B

for filters

A

and

B

on a powerset.

Proposition

455

.

For

S

P

F

\ {∅}

where

F

are filters on a powerset

F

l

S

=

K

0

∩ · · · ∩

K

n

K

i

S

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

.

Proof.

By theorem

377

.

Proposition

456

.

For every

F

0

, . . . ,

F

m

(

m

N

) where

F

are filters on a

powerset

F

0

u

F

· · · u

F

F

m

=

K

0

∩ · · · ∩

K

m

K

i

∈ F

i

where

i

= 0

, . . . , m

.

Proof.

By theorem

378

.

Proposition

457

.

If

A ∈

F

and

S

P

F

where

F

are filters on a powerset

then

A t

F

F

l

S

=

F

l

At

F

S.

Proof.

By theorem

380

.

Corollary

458

.

The poset of filters on a powerset is a distributive lattice.

Corollary

459

.

The poset of filters on a powerset is a co-brouwerian lattice.

Proposition

460

.

a

\

F

B

=

a

u

F

B

for every

a

F

,

B

P

(where

F

is filters

on a powerset and the complement is taken on

P

).

Proof.

By theorem

383

.

Proposition

461

.

Let

F

be the poset of filters on a powerset.

A

u

F

F

F

S

=

F

F

A

u

F

S

for every

A

P

and every set

S

P

F

.

Proof.

By theorem

385

.