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4.4. FILTERS ON A SET

76

4.3.22. Pseudodifference of filters.

Proposition

434

.

For a lattice

F

of filters over a boolean lattice and

a, b

F

the following expressions are always equal:

1

.

a

\

b

=

T

n

z

F

a

v

b

t

z

o

(quasidifference of

a

and

b

);

2

.

a

#

b

=

F

n

z

F

z

v

a

z

u

b

=

o

(second quasidifference of

a

and

b

);

3

.

F

(atoms

a

\

atoms

b

).

Proof.

Theorem

202

taking into account corollary

382

theorem

404

.

4.4. Filters on a Set

In this section we will consider filters on the poset

Z

=

P

U

(where

U

is some

fixed set) with the order

A

v

B

A

B

(for

A, B

P

A

).

In fact, it is a complete atomistic boolean lattice with

d

S

=

T

S

,

F

S

=

S

S

,

A

=

U

\

A

for every

S

PP

U

and

A

P

U

, atoms being one-element sets.

Definition

435

.

I will call a filter on the lattice of all subsets of a given set

U

as a

filter on set

.

Definition

436

.

I will denote the set on which a filter

F

is defined as Base(

F

).

Obvious

437

.

Base(

F

) =

S

F

.

Definition

438

.

I will call the primary filtrator for

Z

=

P

U

(with order on

Z

defined as

A

v

B

A

B

) for some set

U

as

powerset filtrator

.

Proposition

439

.

The following are equivalent for a non-empty set

F

PP

U

:

1

.

F

is a filter.

2

.

X, Y

F

:

X

Y

F

and

F

is an upper set.

3

.

X, Y

P

U

: (

X, Y

F

X

Y

F

).

Proof.

By theorem

349

.

Obvious

440

.

The minimal filter on

P

U

is

P

U

.

Obvious

441

.

The maximal filter on

P

U

is

{

U

}

.

I will denote

A

=

U

A

=

P

U

A

. (The distinction between conflicting nota-

tions

U

A

and

P

U

A

will be clear from the context.)

Proposition

442

.

The powerset filtrator is both up-aligned and down-aligned.

Proof.

By theorem

365

.

Proposition

443

.

Every powerset filtrator is filtered.

Proof.

By corollary

362

.

Proposition

444

.

Every powerset filtrator is with join-closed core.

Proof.

By corollary

363

.

Proposition

445

.

Every powerset filtrator is with finitely meet-closed core.

Proof.

By proposition

364

.

Proposition

446

.

Every powerset filtrator is with separable core.

Proof.

By theorem

379

.

Proposition

447

.

Every powerset filtrator is with co-separable core.