background image

4.3. FILTERS ON A POSET

75

2

Taking the above into account, we need to prove only

a

0

t

b

0

a

1

t

b

1

.

We have

(

a

0

t

b

0

)

u A

= (

a

0

u A

)

t

(

b

0

u A

) = (

a

1

u A

)

t

(

b

1

u A

) = (

a

1

t

b

1

)

u A

.

Definition

431

.

We will denote

A/

(

) =

A/

((

)

A

×

A

) for a set

A

and

an equivalence relation

on a set

B

A

. I will call

a congruence on

A

when

(

)

T

A

×

A

is a congruence on

A

.

Theorem

432

.

Let

F

be the set of filters over a boolean lattice

Z

and

A

F

.

Consider the function

γ

:

Z

(

D

A

)

Z

/

defined by the formula (for every

p

Z

(

D

A

))

γp

=

X

Z

X

u

F

A

=

p

.

Then:

1

.

γ

is a lattice isomorphism.

2

.

Q

q

:

γ

1

q

=

Q

u

F

A

for every

q

Z

/

.

Proof.

p

Z

(

D

A

) :

γp

6

=

because of theorem

414

Thus it is easy to see

that

γp

Z

/

and that

γ

is an injection.

Let’s prove that

γ

is a lattice homomorphism:

γ

(

p

0

u

F

p

1

) =

n

X

Z

X

u

F

A

=

p

0

u

F

p

1

o

;

γp

0

u

Z

/

γp

1

=

X

0

Z

X

0

u

F

A

=

p

0

u

Z

/

X

1

Z

X

1

u

F

A

=

p

1

=

X

0

u

F

X

1

X

0

, X

1

Z

,

X

0

u

F

A

=

p

0

∧ ↑

X

1

u

F

A

=

p

1

X

0

Z

X

0

u

F

A

=

p

0

u

F

p

1

=

γ

(

p

0

u

F

p

1

)

.

Because

γp

0

u

Z

/

γp

1

and

γ

(

p

0

u

F

p

1

) are equivalence classes, thus follows

γp

0

u

Z

/

γp

1

=

γ

(

p

0

u

F

p

1

).

To finish the proof it is enough to show that

Q

q

:

q

=

γ

(

Q

u

F

A

) for every

q

Z

/

. (From this it follows that

γ

is surjective because

q

is not empty and thus

Q

q

:

q

=

γ

(

Q

u

F

A

).) Really,

γ

(

Q

u

F

A

) =

X

Z

X

u

F

A

=

Q

u

F

A

= [

Q

] =

q.

This isomorphism is useful in both directions to reveal properties of both lattices

Z

(

D

A

) and

q

Z

/

.

Corollary

433

.

If

Z

is a boolean lattice then

Z

/

is a boolean lattice.

Proof.

Because

Z

(

D

A

) is a boolean lattice (theorem

89

).