4.3. FILTERS ON A POSET

74

Proof.

(

F

;

P

) is a filtered (corollary

362

), distributive (corollary

381

com-

plete lattice filtrator (corollary

374

), with finitely meet-closed core (proposition

364

), with separable core (theorem

379

). So we can apply the theorem

339

.

4.3.21. Complementive Filters and Factoring by a Filter.

Definition

426

.

Let

A

be a meet-semilattice and

A ∈

A

. The relation

on

A

is defined by the formula

X, Y

A

:(

X

Y

X

u

A

A

=

Y

u

A

A

)

.

Proposition

427

.

The relation

is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity. Obvious.

Symmetry. Obvious.

Transitivity. Obvious.

Definition

428

.

When

X, Y

Z

and

A ∈

F

we define

X

Y

⇔↑

X

∼↑

Y

.

Theorem

429

.

Let

Z

be a distributive lattice

FiXme

: Generalize for meet-

semilattices?

,

A ∈

F

. Then for every

X, Y

Z

X

Y

⇔ ∃

A

∈ A

:

X

u

Z

A

=

Y

u

Z

A.

Proof.

A

∈ A

:

X

u

Z

A

=

Y

u

Z

A

A

∈ A

:

X

u

F

A

=

Y

u

F

A

A

∈ A

:

X

u

F

A

u

F

A

=

Y

u

F

A

u

F

A ⇔

A

∈ A

:

X

u

F

A

=

Y

u

F

A ⇔

X

u

F

A

=

Y

u

F

A ⇔

X

∼↑

Y

X

Y.

On the other hand,

X

u

F

A

=

Y

u

F

A ⇔

X

u

Z

A

0

A

0

∈ A

=

Y

u

Z

A

1

A

1

∈ A

A

0

, A

1

∈ A

:

X

u

Z

A

0

=

Y

u

Z

A

1

A

0

, A

1

∈ A

:

X

u

Z

A

0

u

Z

A

1

=

Y

u

Z

A

0

u

Z

A

1

A

∈ A

:

Y

u

Z

A

=

X

u

Z

A.

Proposition

430

.

The relation

is a congruence

1

for each of the following:

1

. a meet-semilattice

A

;

2

. a distributive lattice

A

.

Proof.

Let

a

0

, a

1

, b

0

, b

1

A

and

a

0

a

1

and

b

0

b

1

.

1

.

a

0

u

b

0

a

1

u

b

1

because (

a

0

u

b

0

)

u A

=

a

0

u

(

b

0

u A

) =

a

0

u

(

b

1

u A

) =

b

1

u

(

a

0

u A

) =

b

1

u

(

a

1

u A

) = (

a

1

u

b

1

)

u A

.

1

See Wikipedia for a definition of congruence.