background image

4.3. FILTERS ON A POSET

73

Proposition

417

.

Let

Z

be a complete lattice. Then

a

P

.

Proof.

F

is a complete lattice by

374

(

F

;

P

) is a filtrator with join-closed

core by corollary

363

(

F

;

P

) is a filtrator with separable core by theorem

379

So

we can apply theorem

331

.

Proposition

418

.

If

Z

is a complete boolean lattice, then

a

+

is dual pseudo-

complement of

a

, that is

a

+

= min

c

A

c

t

F

a

=

>

F

for every

a

F

.

Proof.

(

F

;

P

) is filtered by the corollary

362

It is with co-separable core by

theorem

340

.

F

is a complete lattice by corollary

374

So we can apply theorem

332

.

Proposition

419

.

For a primary filtrator over a complete boolean lattice both

edge part and dual edge part are always defined.

Proof.

Core part and dual core part are defined because the core is a complete

lattice. Using the theorem

383

.

Proposition

420

.

If

Z

is a complete lattice, then for every

a, b

F

Cor(

a

u

F

b

) = Cor

a

u

P

Cor

b.

Proof.

(

F

;

P

) is with join-closed core by corollary

363

.

F

is a meet-semilattice

by corollary

374

So we can apply theorem

335

Then apply proposition

367

.

Proposition

421

.

If

Z

is a complete lattice, then for every

S

P

F

Cor

F

l

S

=

P

l

h

Cor

i

S.

Proof.

By theorem

336

.

Corollary

422

.

If

Z

is a complete lattice, then for every

S

P

P

Cor

F

l

S

=

P

l

S.

Proposition

423

.

Let

Z

be a complete atomistic lattice. Then for every

a, b

F

Cor(

a

t

F

b

) = Cor

a

t

P

Cor

b.

Proof.

(

F

;

P

) is semifiltered by corollary

362

It is with finitely meet-close

core by

364

.

F

is starrish by corollary

381

.

F

is complete by corollary

374

So we

can apply theorem

338

Then apply proposition

367

.

Theorem

424

.

Let

Z

be a complete boolean lattice. Then (

a

u

F

b

)

=

a

t

P

b

for every

a, b

F

.

Proof.

(

F

;

P

) is a filtered (corollary

362

up-aligned complete lattice filtrator

with finitely join-closed (theorem

292

co-separable core (theorem

340

which is a

complete boolean lattice. Thus by the theorem

327

(

a

u

F

b

)

= (

a

u

F

b

)

+

= Cor(

a

u

F

b

) = Cor

a

u

P

Cor

b

= Cor

a

t

F

Cor

b

=

a

+

t

P

b

+

=

a

t

P

b

(used propositions

416

,

420

).

Theorem

425

.

Let

Z

be a complete atomistic boolean lattice. Then (

a

t

F

b

)

=

a

u

P

b

for every

a, b

F

.