background image

4.3. FILTERS ON A POSET

72

account properties of generalized filter bases)

X ∈

S

up

X ⊆

S

up

X ⊆

F ⇔

X

up

X

:

X

u

F

F 6

=

F

F

/

F u

F

up

X ⇔

F

l

F u

F

up

X 6

=

F

F u

F

F

l

up

X 6

=

F

F u

F

X 6

=

F

X ∈

?

F

.

4.3.18. Filters and a Special Sublattice.

Theorem

414

.

Let (

F

;

Z

) be a primary filtrator where

Z

is a boolean lattice.

Let

A ∈

F

. Then for each

X ∈

F

X ∈

Z

(

D

A

)

⇔ ∃

X

P

:

X

=

X

u

F

A

.

Proof.

. Let

X

=

X

u

F

A

where

X

P

. Let also

Y

=

X

u

F

A

. Then

X u

F

Y

=

X

u

F

X

u

F

A

= (

X

u

P

X

)

u

F

A

=

F

u

F

A

=

F

(used theorem

311

and

X t

F

Y

= (

X

t

F

X

)

u

F

A

= (

X

t

P

X

)

u

F

A

=

>

F

u

F

A

=

A

(used the

theorems

292

and corollary

381

). So

X ∈

Z

(

D

A

).

. Let

X ∈

Z

(

D

A

). Then there exists

Y ∈

Z

(

D

A

) such that

X u

F

Y

=

F

and

X t

F

Y

=

A

. Then (used theorem

379

there exists

X

up

X

such that

X

u

F

Y

=

F

. We have

X

=

X t

(

X

u

F

Y

) =

X

=

X

u

F

(

X u

F

Y

) =

X

u

F

A

.

4.3.19. Core Part and Atomic Elements.

Proposition

415

.

Let

Z

be an atomistic lattice. Then for every

a

F

such

that Cor

0

a

exists we have

Cor

0

a

=

Z

G

x

x

is an atom of

Z

, x

v

a

.

Proof.

(

F

;

P

) is with join-closed core by corollary

363

So we can apply

theorem

334

.

4.3.20. Complements and Core Parts.

Proposition

416

.

Let

Z

be a complete boolean lattice. Then

a

=

a

+

= Cor

a

for every

a

F

.

Proof.

The filtrator (

F

;

P

) is filtered by the corollary

362

.

F

is a complete

lattice by corollary

374

(

F

;

P

) is with co-separable core by theorem

340

Thus we

can apply the theorem

327

.

(

F

;

P

) is filtered by the corollary

362

finitely meet-closed by proposition

364

,

with separable core by theorem

379

.

F

is a complete lattice by corollary

374

So

we can apply the theorem

329

.