background image

4.3. FILTERS ON A POSET

71

but

F ∈

P

S

P

P

:

 

P

l

S

up

F ⇐

S

up

F

!

P

l

up

F ∈

up

F ⇒

F ∈

P

.

Theorem

413

.

Let

Z

be a boolean lattice. For any

S

P

F

the condition

∃F ∈

F

:

S

=

?

F

is equivalent to conjunction of the following items:

1

.

S

is a free star on

F

;

2

.

S

is filter closed.

Proof.

.

1

That

F

/

?

F

is obvious. For every

a, b

F

a

t

F

b

?

F ⇔

(

a

t

F

b

)

u

F

F 6

=

F

(

a

u

F

F

)

t

F

(

b

u

F

F

)

6

=

F

a

u

F

F 6

=

F

b

u

F

F 6

=

F

a

?

F ∨ ∈

?

F

(taken into account the corollary

381

). So

?

F

is a free star on

F

.

2

We have

T

S

and need to prove that

d

F

T

u F 6

=

F

. Be-

cause

F u

F

T

is a generalized filter base,

F

F u

F

T

d

F

F u

F

T

=

F

d

F

T

u

F

F 6

=

F

. So it is left to prove

F

/

F u

F

T

what follows from

T

S

.

. Let

S

be a free star on

F

. Then for every

A, B

P

A, B

S

P

A, B

S

A

t

F

B

S

A

t

Z

B

S

A

t

Z

B

S

P

(taken into account the theorem

292

). So

S

P

is a free star on

P

.

Thus there exists

F ∈

F

such that

F

=

S

P

. We have up

X ⊆

S

⇔ X ∈

S

(because

S

is filter closed) for every

X ∈

F

; then (taking into