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4.3. FILTERS ON A POSET

70

Proof.

(

F

;

P

) is with finitely join-closed core by the theorem

363

,

F

is a

distributive lattice by theorem

381

So we can apply proposition

319

.

The following theorem is essentially borrowed from [

18

]:

Theorem

410

.

Let

Z

be a boolean lattice. Let

a

be a filter. Then the following

are equivalent:

1

.

a

is prime.

2

. For every

A

Z

exactly one of

{

A, A

}

is in

a

.

3

.

a

is an atom of

F

.

Proof.

1

2

Let

a

be prime. Then

A

t

Z

A

=

>

A

a

. Therefore

A

a

A

a

. But

since

A

u

Z

A

=

Z

it is impossible

A

a

A

a

.

2

3

Obviously

a

6

=

F

. Let a filter

b

@

a

. So

b

a

. Let

X

b

\

a

. Then

X /

a

and thus

X

a

and consequently

X

b

. So

Z

=

X

u

Z

X

b

and thus

b

=

F

. So

a

is atomic.

3

1

By the previous proposition.

4.3.17. Some Criteria.

Proposition

411

.

Let

Z

be an atomic complete boolean lattice. Then the

following conditions are equivalent for any

F ∈

F

:

1

.

F ∈

P

;

2

.

S

P

F

:

F u

F

F

F

S

6

=

⊥ ⇒ ∃K ∈

S

:

F u

F

K 6

=

;

3

.

S

P

P

:

F u

F

F

F

S

6

=

⊥ ⇒ ∃

K

S

:

F u

F

K

6

=

.

Proof.

The filtrator (

F

;

P

) is semifiltered by the corollary

362

star separable

by

395

with finitely meet-closed core by proposition

364

with separable core by

theorem

379

.

P

is atomistic because every atomic complete boolean lattice is

atomistic.

F

is atomistic by theorem

404

.

So we can apply the theorem

320

.

Theorem

412

.

If

Z

is a complete boolean lattice then for each

F ∈

F

FiXme

:

Too similar to the previous theorem (proposition 4.144)! Also it seems that this

theorem can be generalized.

F ∈

P

⇔ ∀

S

P

P

:

 

P

G

S

F ⇒

S

F 6

=

!

.

Proof.

S

P

P

:

 

P

G

S

F ⇒

S

F 6

=

!

S

P

P

:

 

P

G

S /

F ⇐

S

F

=

!

S

P

P

:

P

G

S

up

F ⇐ h¬i

S

⊆ F

S

P

P

:

 

P

l

S

up

F ⇐

S

up

F

!

,