background image

CHAPTER 1

Introduction

For related materials, articles, research questions, and erratum consult the Web

page of the author of the book:

http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html

1.1. Draft status

This is a draft.

1.2. Intended audience

This book is suitable for any math student as well as for researchers.

To make this book be understandable even for first grade students, I made

a chapter about basic concepts (posets, lattices, topological spaces, etc.), which

an already knowledgeable person may skip reading. It is assumed that the reader

knows basic set theory.

But it is also valuable for mature researchers, as it contains much original

research which you could not find in any other source except of my work.

Knowledge of the basic set theory is expected from the reader.

Despite that this book presents new research, it is well structured and is suitable

to be used as a textbook for a college course.

Your comments about this book are welcome to the email

porton@narod.ru

.

1.3. Reading Order

If you know basic order and lattice theory (including Galois connections and

brouwerian lattices) and basics of category theory, you may skip reading the chapter

Common knowledge, part 1

.

You are recommended to read the rest of this book by the order.

1.4. Our topic and rationale

From [

38

]:

Point-set topology, also called set-theoretic topology or general topol-

ogy, is the study of the general abstract nature of continuity or “closeness” on
spaces. Basic point-set topological notions are ones like continuity, dimension, com-
pactness, and connectedness.

In this work we study a new approach to point-set topology (and pointfree

topology).

Traditionally general topology is studied using topological spaces (defined be-

low in the section

Topological spaces

). I however argue that the theory of topolog-

ical spaces is not the best method of studying general topology and introduce an

alternative theory, the theory of

funcoids

. Despite of popularity of the theory of

topological spaces it has some drawbacks and is in my opinion not the most appro-

priate formalism to study most of general topology. Because topological spaces are

tailored for study of special sets, so called open and closed sets, studying general

topology with topological spaces is a little anti-natural and ugly. In my opinion the

theory of funcoids is more elegant than the theory of topological spaces, and it is

7