background image

4.3. FILTERS ON A POSET

69

4.3.15. More about the Lattice of Filters.

Definition

400

.

Atoms of

F

(for any poset

Z

) are called

ultrafilters

.

Definition

401

.

Principal ultrafilters are also called

trivial ultrafilters

.

Theorem

402

.

If

Z

is a bounded distributive lattice

FiXme

: Generalize for

meet-semilattices?

with least element then

F

is an atomic lattice.

Proof.

Let

F ∈

F

. Let choose (by Kuratowski’s lemma) a maximal chain

S

from

F

to

F

. Let

S

0

=

S

\ {⊥

F

}

.

a

=

d

F

S

0

6

=

F

by properties of generalized

filter bases (the corollary

389

which uses the fact that

Z

is a distributive lattice with

least element). If

a /

S

then the chain

S

can be extended adding there element

a

because

F

@

a

v X

for any

X ∈

S

0

what contradicts to maximality of the

chain. So

a

S

and consequently

a

S

0

. Obviously

a

is the minimal element of

S

0

. Consequently (taking into account maximality of the chain) there is no

Y ∈

F

such that

F

@

Y

@

a

. So

a

is an atomic filter. Obviously

a

v F

.

Obvious

403

.

If

Z

is a boolean lattice then

F

is separable.

Theorem

404

.

If

Z

is a boolean lattice then

F

is an atomistic lattice.

Proof.

Because (used the theorem

179

)

F

is atomic (theorem

402

and sepa-

rable.

Corollary

405

.

If

Z

is a boolean lattice then

F

is atomically separable.

Proof.

By theorem

178

.

Theorem

406

.

When

Z

is a boolean lattice, the filtrator (

F

;

P

) is central.

Proof.

We can conclude that

F

is atomically separable (the corollary

405

),

with separable core (the theorem

379

), and with join-closed core (corollary

363

).

We need to prove

Z

(

F

) =

P

.

Let

X ∈

Z

(

F

). Then there exists

Y ∈

Z

(

F

) such that

X u

F

Y

=

F

and

X t

F

Y

=

>

F

. Consequently there is

X

up

X

such that

X

u

F

Y

=

F

; we also

have

X

t

F

Y

=

>

F

. Suppose

X

A

X

. Then there exists

a

atoms

F

X

such that

a /

atoms

F

X

. We can conclude also

a /

atoms

F

Y

(otherwise

X

u

F

Y 6

=

F

). Thus

a /

atoms(

X t

F

Y

) and consequently

X t

F

Y 6

=

>

F

what is a contradiction. We

have

X

=

X

P

.

Let now

X

P

. Let

Y

=

X

. We have

X

u

P

Y

=

F

and

X

t

P

Y

=

>

F

. Thus

X

u

F

Y

=

d

P

{

X

u

P

Y

}

=

F

;

X

u

F

Y

=

X

u

P

Y

=

>

F

. We have shown that

X

(

F

).

4.3.16. Atomic Filters.

Proposition

407

.

If

Z

is a meet-semilattice with least element, then

a

is an

atom of

P

iff

a

P

and

a

is an atom of

F

.

Proof.

It is semifiltered by the corollary

362

finitely meet-closed by proposi-

tion

364

So we can apply the theorem

316

.

Proposition

408

.

If

Z

is a meet-semilattice with least element then,

a

F

is

an atom of

F

iff up

a

=

∂a

.

Proof.

It is semifiltered by the corollary

362

,

F

is a meet-semilattice by the

corollary

374

So we can apply theorem

317

.

Proposition

409

.

If

Z

is bounded distributive lattice, then atomic elements

of the filtrator (

F

;

P

) are prime.

FiXme

: Generalize for meet-semilattices?