background image

4.3. FILTERS ON A POSET

68

4.3.14.1.

Stars of Filters on Boolean Lattices.

In this section we will consider

the set of filters

F

on a boolean lattice

Z

.

Note that

P

is also a boolean lattice. We will take complements on

P

without

specifying that the complement is taken on

P

.

Theorem

393

.

If

Z

is a boolean lattice,

X

up

A ⇔

X /

A

(where comple-

ment is taken on the boolean lattice

P

) for every

X

P

,

A ∈

F

.

Proof.

X

up

A ⇔

X

w A ⇔

X

F

A ⇔

X /

A

for any

X

P

(taking

into account theorems

311

,

379

,

310

).

Corollary

394

.

If

Z

is a boolean lattice and

A ∈

F

then

1

.

A

=

n

X

X

P

\

up

A

o

;

2

. up

A

=

n

X

X

P

\

A

o

(where complement is taken on the boolean lattice

P

).

Corollary

395

.

If

Z

is a boolean lattice,

is an injection.

For boolean lattices free stars bijectively correspond to filters:

Theorem

396

.

FiXme

: This theorem is an obvious consequence of isomor-

phisms between filters and free stars on the dual lattice. As such, this theorem

should be removed from the text.

If

Z

is a boolean lattice, then for any set

S

P

P

there exists a filter

A

such that

A

=

S

iff

S

is a free star.

Proof.

REMOVED THEOREM.

Proposition

397

.

If

Z

is a boolean lattice then

A v B ⇔

A ⊆

B

for every

A

,

B ∈

F

.

Proof.

A ⊆

B ⇔

X

X

P

\ A

X

X

P

\ B

P

\ A ⊆

P

\ B ⇔

A ⊇ B ⇔

A v B

.

Corollary

398

.

is a straight monotone map if

Z

is a boolean lattice.

FiXme

:

Remove it on behalf of more general fact that

is an isomorphism?

Theorem

399

.

If

Z

is a boolean lattice then

F

F

S

=

S

h

i

S

for every

S

P

F

.

Proof.

For boolean lattices

is an order embedding from the poset

F

to the

complete lattice

P

P

. So accordingly the lemma

371

it is enough to prove that

there exists

F ∈

F

such that

F

=

S

h

i

S

. To prove this it is enough to show that

P

/

S

h

i

S

and

A, B

S

:

A

t

P

B

[

h

i

S

A

[

h

i

S

B

[

h

i

S

.

P

/

S

h

i

S

is obvious.

Let

A

t

P

B

S

h

i

S

. Then there exists

Q

∈ h

i

S

such that

A

t

P

B

Q

.

Then

A

Q

B

Q

, consequently

A

S

h

i

S

B

S

h

i

S

. Let now

A

S

h

i

S

. Then there exists

Q

∈ h

i

S

such as

A

Q

, consequently

A

t

P

B

Q

and

A

t

P

B

S

h

i

S

.