background image

4.3. FILTERS ON A POSET

67

4.3.13. Generalized Filter Base.

Definition

386

.

Generalized filter base

is a filter base on the set

F

.

Definition

387

.

If

S

is a generalized filter base and

A

=

d

F

S

, then we call

S

a generalized filter base of a filter

A

.

Theorem

388

.

If

Z

is a distributive lattice

FiXme

: Can be generalized for any

meet-semilattice?

and

S

is a generalized filter base of a filter

F

then for any

K

Z

K

∈ F ⇔ ∃L ∈

S

:

K

∈ L

.

Proof.

. Because

F

=

d

F

S

.

. Let

K

∈ F

. Then (taken into account distributivity of

Z

and that

S

is

nonempty) there exist

X

1

, . . . , X

n

S

S

such that

X

1

u

Z

· · · u

Z

X

n

=

K

that is

X

1

u

P

· · · u

P

X

n

=

K

. Consequently (by theorem

311

)

X

1

u

F

· · · u

F

X

n

=

K

. Replacing every

X

i

with such

X

i

S

that

X

i

∈ X

i

(this is obviously possible to do), we get a finite set

T

0

S

such

that

d

F

T

0

v↑

K

. From this there exists

C ∈

S

such that

C v

d

F

T

0

v↑

K

and so

K

∈ C

.

Corollary

389

.

If

Z

is a distributive lattice with least element and

S

is a

generalized filter base of a filter

F

then

F

S

⇔ F

=

F

.

Proof.

Substitute

F

as

K

.

Theorem

390

.

Let

Z

be a distributive lattice with least element and

S

is a

nonempty set of filters on

Z

such that

F

0

u

F

· · ·u

F

F

n

6

=

F

for every

F

0

, . . . ,

F

n

S

.

Then

d

F

S

6

=

F

.

FiXme

: Generalize for arbitrary meet-semilattices?

Proof.

Consider the set

S

0

=

F

0

u

F

· · · u

F

F

n

F

0

, . . . ,

F

n

S

.

Obviously

S

0

is nonempty and finitely meet-closed. So

S

0

is a generalized filter

base. Obviously

F

/

S

. So by properties of generalized filter bases

d

F

S

0

6

=

F

.

But obviously

d

F

S

=

d

F

S

0

. So

d

F

S

6

=

F

.

Corollary

391

.

Let

Z

be a distributive lattice with least element and let

S

P

Z

such that

S

6

=

and

A

0

u

Z

· · · u

Z

A

n

6

=

Z

for every

A

0

, . . . , A

n

S

.

Then

d

F

h↑i

6

=

F

.

Proof.

Because (

F

;

Z

) is finitely meet-closed (by the theorem

311

).

4.3.14. Stars for filters.

Theorem

392

.

Let

Z

be a bounded distributive lattice with greatest ele-

ment. Then

∂a

is a free star for each

a

F

.

FiXme

: Generalize for arbitrary

meet-semilattices?

Proof.

F

is a distributive lattice by the corollary

381

The filtrator (

F

;

P

) is

finitely join-closed by corollary

363

So we can apply the theorem

314

.