background image

4.3. FILTERS ON A POSET

66

Proof.

Taking into account the previous section, we have:

A t

F

F

l

S

=

A ∩

F

l

S

=

A ∩

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

∈ A

, K

i

S

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

∈ A

, K

i

S

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

∈ A ∩

S

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

hA∩i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

(

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

A∩X

X ∈

S

 

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

)

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

n

At

F

X

X ∈

S

o

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

F

l

A t

F

X

X ∈

S

=

F

l

At

F

S.

Corollary

381

.

If

Z

is a distributive lattice with greatest element, then

F

is

also a distributive lattice.

Corollary

382

.

If

Z

is a distributive lattice with greatest element, then

F

is

a co-brouwerian lattice.

4.3.12. Filters over Boolean Lattices.

Theorem

383

.

If

Z

is a boolean lattice then

a

\

F

B

=

a

u

F

B

for every

a

F

,

B

P

(where the complement is taken on

P

).

Proof.

F

is a distributive lattice by corollary

381

Our filtrator is finitely

meet-closed by the theorem

311

and with join-closed core by the theorem

292

It

is also up and down aligned. So we can apply the proposition

341

.

4.3.12.1.

Distributivity for an Element of Boolean Core.

Lemma

384

.

Let

F

be the poset of filters over a boolean lattice

Z

.

Then

A

u

F

is a lower adjoint of

A

t

F

for every

A

P

.

Proof.

Lemma

342

.

Theorem

385

.

Let

F

be the poset of filters over a boolean lattice

Z

. Then

A

u

F

F

F

S

=

F

F

A

u

F

S

for every

A

P

and every set

S

P

F

.

Proof.

Direct consequence of the lemma.