background image

4.3. FILTERS ON A POSET

65

Proof.

Let’s denote the right part of the equality to be proven as

R

. First we

will prove that

R

is a filter. Obviously

R

is nonempty.

Let

A, B

R

. Then

A

=

X

0

u

Z

· · · u

Z

X

m

,

B

=

Y

0

u

Z

· · · u

Z

Y

m

where

X

i

, Y

i

∈ F

i

.

A

u

Z

B

= (

X

0

u

Z

Y

0

)

u

Z

· · · u

Z

(

X

m

u

Z

Y

m

)

,

consequently

A

u

Z

B

R

.

Let filter

C

w

A

R

C

=

A

t

Z

C

= (

X

0

t

Z

C

)

u

Z

· · · u

Z

(

X

m

t

Z

C

)

R.

So

R

is a filter.

Let

P

i

∈ F

i

. Then

P

i

R

because

P

i

= (

P

i

t

Z

P

0

)

u

Z

· · · u

Z

(

P

i

t

Z

P

m

). So

F

i

R

;

F

i

w

R

.

Let now

B ∈

F

and

i

∈ {

0

, . . . , m

}

:

F

i

w B

. Then

i

∈ {

0

, . . . , m

}

:

F

i

⊆ B

.

Let

L

i

∈ B

for every

L

i

∈ F

i

.

L

0

u

Z

· · · u

Z

L

m

∈ B

. So

B ⊇

R

;

B v

R

.

So

F

0

u

F

· · · u

F

F

m

=

R

.

4.3.10. Separability of Core for Primary Filtrators.

Theorem

379

.

A primary filtrator with least element, whose core is a distribu-

tive lattice, is with separable core.

FiXme

: Is distributivity necessary? I suspect it

for every meet-semilattice.

Proof.

Let

F

B

where

A

,

B ∈

F

.

A u

F

B

=

A

u

Z

B

A

∈ A

, B

∈ B

.

So

⊥ ∈ A u

F

B ⇔

A

∈ A

, B

∈ B

:

A

u

Z

B

=

⊥ ⇔

A

∈ A

, B

∈ B

:

A

u

P

B

=

F

A

∈ A

, B

∈ B

:

A

u

F

B

=

F

A

up

A

, B

up

B

:

A

u

F

B

=

F

(used proposition

364

).

4.3.11. Distributivity of the Lattice of Filters.

Theorem

380

.

If

Z

is a distributive lattice

FiXme

: Can it be generalized for

meet-semilattices (use generalized infinite meet formula in rewrite-plan.pdf)? Also

corollaries.

with greatest element,

S

P

F

and

A ∈

F

then

A t

F

F

l

S

=

F

l

At

F

S.