background image

4.3. FILTERS ON A POSET

64

Proof.

Taking into account the corollary of the lemma, it is enough to prove

that there exists

F ∈

F

such that

F

=

T

S

, that is that

R

=

T

S

is a filter.

R

is nonempty because

> ∈

R

. Let

A, B

R

; then

∀F ∈

S

:

A, B

∈ F

,

consequently

∀F ∈

S

:

A

u

Z

B

∈ F

. Consequently

A

u

Z

B

T

S

=

R

. So

R

is a

filter base. Let

X

R

and

X

v

Y

Z

; then

∀F ∈

S

:

X

∈ F

;

∀F ∈

S

:

Y

∈ F

;

Y

R

. So

R

is an upper set.

Corollary

374

.

If

Z

is a meet-semilattice with greatest element then

F

is a

complete lattice.

Corollary

375

.

If

Z

is a meet-semilattice with greatest element then for any

A

,

B ∈

F

A t

F

B

=

A ∩ B

.

We will denote meets and joins on the lattice of filters just as

u

and

t

.

Theorem

376

.

If

Z

is a join-semilattice then

F

is a join-semilattice and for

any

A

,

B ∈

F

A t

F

B

=

A ∩ B

.

Proof.

Taking into account the corollary of the lemma, it is enough to prove

R

=

A ∩ B

is a filter.

R

is nonempty because there exists

X

∈ A

and

Y

∈ B

and

R

3

X

t

Z

Y

.

Let

A, B

R

. Then

A, B

∈ A

; so there exists

C

∈ A

such that

C

v

A

C

v

B

.

Analogously there exists

D

∈ B

such that

D

v

A

D

v

B

. Let

E

=

C

t

Z

D

. Then

E

∈ A

and

E

∈ B

;

E

R

and

E

v

A

E

v

B

. So

R

is a filter base.

That

R

is an upper set is obvious.

Theorem

377

.

If

Z

is a distributive lattice then for

S

P

F

\ {∅}

F

l

S

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

S

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

.

Proof.

Let’s denote the right part of the equality to be proven as

R

. First we

will prove that

R

is a filter.

R

is nonempty because

S

is nonempty.

Let

A, B

R

. Then

A

=

X

0

u

Z

· · ·u

Z

X

k

,

B

=

Y

0

u

Z

· · ·u

Z

Y

l

where

X

i

, Y

j

S

S

.

So

A

u

Z

B

=

X

0

u

Z

· · · u

Z

X

k

u

Z

Y

0

u

Z

· · · u

Z

Y

l

R.

Let filter

C

w

A

R

. Consequently (distributivity used)

C

=

C

t

Z

A

= (

C

t

Z

X

0

)

u

Z

· · · u

Z

(

C

t

Z

X

k

)

.

X

i

P

i

for some

P

i

S

;

C

t

Z

X

i

P

i

;

C

t

Z

X

i

S

S

; consequently

C

R

.

We have proved that that

R

is a filter base and an upper set. So

R

is a filter.

Let

A ∈

S

. Then

A ⊆

S

S

;

R

F

l

S

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

n

K

i

∈ A

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

=

A

.

Consequently

A w

R

.

Let now

B ∈

F

and

∀A ∈

S

:

A w B

. Then

∀A ∈

S

:

A ⊆ B

;

B ⊇

S

S

. Thus

B ⊇

T

for every finite set

T

S

S

. Consequently

B 3

d

Z

T

. Thus

B ⊇

R

;

B v

R

.

Comparing we get

d

F

S

=

R

.

Theorem

378

.

If

Z

is a distributive lattice then for any

F

0

, . . . ,

F

m

F

F

0

u

F

· · · u

F

F

m

=

K

0

u

Z

· · · u

Z

K

m

K

i

∈ F

i

where

i

= 0

, . . . , m

.