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4.3. FILTERS ON A POSET

63

4.3.5. Alignment.

Obvious

365

.

1

. If

Z

has least element, the primary filtrator is down-aligned.

2

. If

Z

has greatest element, the primary filtrator is up-aligned.

4.3.6. Co-separability of Core for Primary Filtrators.

Proposition

366

.

Every primary filtrator over a meet infinite distributive

complete lattice is with co-separable core.

Proof.

It is up-aligned, filtered. So we can apply the theorem

340

.

4.3.7. Core Part.

Proposition

367

.

Cor

0

a

= Cor

a

for every filter a on a complete lattice.

Proof.

By the theorem

301

and corollary

362

.

Proposition

368

.

Cor

a

v

a

for every filter a on a complete lattice.

Proof.

By the theorem

296

and corollary

362

.

Proposition

369

.

Cor

a

= max down

a

for every filter a on a complete lattice.

Proof.

Proposition

367

obvious

302

corollary

363

.

4.3.8. Intersecting and Joining with an Element of the Core.

Theorem

370

.

For a filtrator (

F

;

P

) where

Z

is a boolean lattice, for every

B

P

,

A ∈

F

:

1

.

B

F

A ⇔

B

w A

;

2

.

B

F

A ⇔

B

v A

if

Z

is a complete lattice.

Proof.

1

Using theorem

310

obvious

365

proposition

364

theorem

379

.

FiXme

:

Forward reference!

2

Using theorem

310

obvious

365

corollary

363

theorem

340

.

4.3.9. Formulas for Meets and Joins of Filters.

Lemma

371

.

If

f

is an order embedding from a poset

A

to a complete lattice

B

and

S

P

A

and there exists such

F ∈

A

that

f

F

=

F

B

h

f

i

S

, then

F

A

S

exists

and

f

F

A

S

=

F

B

h

f

i

S

.

Proof.

f

is an order isomorphism from

A

to

B

|

h

f

i

A

.

f

F ∈

B

|

h

f

i

A

.

Consequently,

F

B

h

f

i

S

B

|

h

f

i

A

and

F

B

|

h

f

i∗

A

h

f

i

S

=

F

B

h

f

i

S

.

f

F

A

S

=

F

B

|

h

f

i∗

A

h

f

i

S

because

f

is an order isomorphism.

Combining,

f

F

A

S

=

F

B

h

f

i

S

.

Corollary

372

.

If

B

is a complete lattice and

A

is its subset and

S

P

A

,

then

F

A

S

exists and

F

A

S

=

F

B

S

.

Theorem

373

.

If

Z

is a meet-semilattice with greatest element

>

then

F

F

S

exists and

F

G

S

=

\

S

for every

S

P

F

.