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4.3. FILTERS ON A POSET

62

Proposition

351

.

If

Z

is a meet-semilattice and

S

is a filter base on it,

A

Z

,

then

h

A

ui

S

is also a filter base.

Proof.

h

A

ui

S

6

=

because

S

6

=

.

Let

X, Y

∈ h

A

ui

S

. Then

X

=

A

u

X

0

and

Y

=

A

u

Y

0

where

X

0

, Y

0

S

. There

exists

Z

0

S

such that

Z

0

v

X

0

u

Y

0

. So

X

u

Y

=

A

u

X

0

u

Y

0

w

A

u

Z

0

∈ h

A

ui

S

.

4.3.3. Order of filters. Principal filters.

I will make the set of filters

F

into a poset by the order defined by the formula:

a

v

b

a

b

.

Definition

352

.

The principal filter corresponding to an element

a

Z

is

a

=

x

Z

x

w

a

.

Elements of

P

=

h↑i

Z

are called

principal filters

.

Obvious

353

.

Principal filters are filters.

Obvious

354

.

is an order embedding from

Z

to

F

.

Corollary

355

.

is an order isomorphism between

Z

and

P

.

Definition

356

.

For every poset

Z

I call (

F

;

P

) the

primary filtrator

(for the

base

Z

).

Proposition

357

.

K

w A ⇔

K

∈ A

.

Proof.

K

w A ⇔↑

K

⊆ A ⇔

K

∈ A

.

Proposition

358

.

up

a

=

h↑i

a

for an element

a

of a primary filtrator.

Proof.

For every

L

P

we have

L

=

K

for some

K

Z

and

L

up

a

L

w

a

⇔↑

K

w

a

K

a

L

∈ h↑i

a

.

4.3.3.1.

Minimal and maximal filters.

Obvious

359

.

The filter

F

=

Z

(equal to the principal filter for the least

element of

Z

if it exists) is the least element of the poset of filters.

Proposition

360

.

If there exists greatest element

>

Z

of the poset

Z

then

>

F

=

{

1

Z

}

is the greatest element of

F

.

Proof.

Take into account that filters are nonempty.

4.3.4. Primary filtrator is filtered.

FiXme

: Can the proof be simplified

using the fact that “filtered” is the same as “semifiltered”?

Theorem

361

.

A

=

d

F

h↑i

A

for every filter

A

on a poset.

Proof.

A

is obviously a lower bound for

h↑i

A

. Let

B

be a lower bound for

h↑i

A

that is

K

∈ A

:

B v↑

K

that is

K

∈ A

:

K

∈ B

that is

A ⊆ B

that is

B v A

. So

A

is the greatest lower

bound for

h↑i

A

.

Corollary

362

.

Every primary filtrator is filtered.

Corollary

363

.

Every primary filtrator is with join-closed core.

Proof.

Theorem

292

.

Proposition

364

.

The filtrator (

F

;

P

) is with finitely meet-closed core if

Z

is

a meet-semilattice.

Proof.

Theorem

311

.