background image

4.2. FILTRATORS

59

Corollary

337

.

If (

A

;

Z

) is a join-closed filtrator and both

A

and

Z

are com-

plete lattices, then for every

S

P

A

Cor

0

A

l

S

=

Z

l

S.

Theorem

338

.

Let (

A

;

Z

) be a semifiltered down-aligned filtrator with finitely

meet-closed core

Z

which is a complete atomistic lattice and

A

is a complete starrish

lattice, then Cor

0

(

a

t

A

b

) = Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

for every

a, b

A

.

Proof.

From theorem conditions it follows that Cor

0

(

a

t

A

b

) exists.

Cor

0

(

a

t

A

b

) =

F

Z

n

x

x

is an atom of

Z

,x

v

a

t

A

b

o

(used proposition

334

).

By theorem

316

we have

Cor

0

(

a

t

A

b

) =

Z

G

((atoms

A

(

a

t

A

b

))

Z

) =

Z

G

((atoms

A

a

atoms

A

b

)

Z

) =

Z

G

((atoms

A

a

Z

)

(atoms

A

b

Z

)) =

Z

G

(atoms

A

a

Z

)

t

Z

Z

G

(atoms

A

b

Z

)

(used the theorem

189

). Again using theorem

316

we get

Cor

0

(

a

t

A

b

) =

Z

G

x

x

is an atom of

Z

, x

v

a

t

Z

Z

G

x

x

is an atom of

Z

, x

v

b

=

Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

(again used proposition

334

).

Theorem

339

.

Let (

A

;

Z

) be a filtered starrish down-aligned complete lattice

filtrator with finitely meet-closed, separable core which is a complete atomistic

boolean lattice. Then (

a

t

A

b

)

=

a

u

Z

b

.

Proof.

(

a

t

A

b

)

= Cor

0

(

a

t

A

b

) = Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

= Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

=

a

u

Z

b

(used theorem

329

).

4.2.12. Co-Separability of Core.

Theorem

340

.

Let (

A

;

Z

) be an up-aligned filtered filtrator whose core is a

meet infinite distributive complete lattice. Then this filtrator is with co-separable

core.

Proof.

Our filtrator is with join-closed core (theorem

292

).

Let

a, b

A

. Cor

a

and Cor

b

exist since

Z

is a complete lattice.