background image

4.2. FILTRATORS

58

Knowing core part and edge part or dual core part and dual edge part of a

filter

FiXme

: consider arbitrary filtrator elements not just filters

, the filter can be

restored by the formulas:

a

= Cor

a

t

A

Edg

a

and

a

= Cor

0

a

t

A

Edg

0

a.

4.2.10. Core Part and Atomic Elements.

Proposition

334

.

Let (

A

;

Z

) be a filtrator with join-closed core and

Z

be an

atomistic lattice. Then for every

a

A

such that Cor

0

a

exists we have

Cor

0

a

=

Z

G

x

x

is an atom of

Z

, x

v

a

.

Proof.

Cor

0

a

=

Z

G

A

Z

A

v

a

=

Z

G

(

F

Z

atoms

Z

A

A

Z

, A

v

a

)

=

Z

G [

atoms

Z

A

A

Z

, A

v

a

=

Z

G

x

x

is an atom of

Z

, x

v

a

.

4.2.11. Distributivity of Core Part over Lattice Operations.

Theorem

335

.

If (

A

;

Z

) is a join-closed filtrator and

A

is a meet-semilattice

and

Z

is a complete lattice, then for every

a, b

A

Cor

0

(

a

u

A

b

) = Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b.

Proof.

From theorem conditions it follows that Cor

0

(

a

u

A

b

) exists.

We have Cor

0

p

v

p

for every

p

A

because our filtrator is with join-closed

core.

Obviously Cor

0

(

a

u

A

b

)

v

Cor

0

a

and Cor

0

(

a

u

A

b

)

v

Cor

0

b

.

If

x

v

Cor

0

a

and

x

v

Cor

0

b

for some

x

Z

then

x

v

a

and

x

v

b

, thus

x

v

a

u

A

b

and

x

v

Cor

0

(

a

u

A

b

).

Theorem

336

.

If (

A

;

Z

) is a join-closed filtrator and both

A

and

Z

are complete

lattices, then for every

S

P

A

Cor

0

A

l

S

=

Z

l

Cor

0

S.

Proof.

From theorem conditions it follows that Cor

0

d

A

S

exists.

We have Cor

0

p

v

p

for every

p

A

because our filtrator is with join-closed

core.

Obviously Cor

0

d

A

S

v

Cor

0

a

for every

a

S

.

If

x

v

Cor

0

a

for every

a

S

for some

x

Z

then

x

v

a

, thus

x

v

d

A

S

and

x

v

Cor

0

d

A

S

.