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4.2. FILTRATORS

56

4.2.9. Complements and Core Parts.

Lemma

326

.

If (

A

;

Z

) is a filtered, up-aligned filtrator with co-separable core

which is a complete lattice, then for any

a, c

A

c

A

a

c

A

Cor

a.

Proof.

. If

c

A

a

then by co-separability of the core exists

K

down

a

such that

c

A

K

. To finish the proof we will show that

K

v

Cor

a

. To show this

is enough to show that

X

up

a

:

K

v

X

what is obvious.

. Cor

a

v

a

(by the theorem

296

using that our filtrator is filtered).

Theorem

327

.

If (

A

;

Z

) is a filtered up-aligned complete lattice filtrator with

co-separable core which is a complete boolean lattice, then

a

+

= Cor

a

for every

a

A

.

Proof.

Our filtrator is with join-closed core (theorem

292

).

a

+

=

A

l

c

A

c

t

A

a

=

>

A

=

A

l

c

A

c

t

A

Cor

a

=

>

A

=

A

l

c

A

c

w

Cor

a

=

Cor

a

(used the lemma and theorem

310

).

Corollary

328

.

If (

A

;

Z

) is a filtered up-aligned complete lattice filtrator with

co-separable core which is a complete boolean lattice, then

a

+

Z

for every

a

A

.

Theorem

329

.

If (

A

;

Z

) is a filtered complete lattice filtrator with down-

aligned, finitely meet-closed, separable core which is a complete boolean lattice,
then

a

= Cor

a

= Cor

0

a

for every

a

A

.