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4.2. FILTRATORS

55

Lemma

322

.

The set of all finite subsets of an infinite set

A

has the same

cardinality as

A

.

Proof.

Let denote the number of

n

-element subsets of

A

as

s

n

. Obviously

s

n

card

A

n

= card

A

. Then the number

S

of all finite subsets of

A

is equal to

s

0

+

s

1

+

· · · ≤

card

A

+ card

A

+

· · ·

= card

A.

That

S

card

A

is obvious. So

S

= card

A

.

Lemma

323

.

A filter base generated by an infinite set has the same cardinality

as that set.

Proof.

From the previous lemma.

Definition

324

.

Let

A

be a complete lattice. A set

S

P

A

is

filter-closed

when for every filter base

T

P

S

we have

d

T

S

.

Theorem

325

.

A subset

S

of a complete lattice is filter-closed iff for every

nonempty chain

T

P

S

we have

d

T

S

.

Proof.

(proof sketch by

Joel David Hamkins

)

. Because every nonempty chain is a filter base.

. We will assume that cardinality of a set is an ordinal defined by von Neumann

cardinal assignment (what is a standard practice in ZFC). Recall that

α < β

α

β

for ordinals

α

,

β

.

We will take it as given that for every nonempty chain

T

P

S

we

have

d

T

S

.

We will prove the following statement: If card

S

=

n

then

S

is filter

closed, for any cardinal

n

.

Instead we will prove it not only for cardinals but for wider class of

ordinals: If card

S

=

n

then

S

is filter closed, for any ordinal

n

.

We will prove it using transfinite induction by

n

.

For finite

n

we have

d

T

S

because

T

S

has minimal element.

Let card

T

=

n

be an infinite ordinal.

Let the assumption hold for every

m

card

T

.

We can assign

T

=

a

α

α

card

T

 

for some

a

α

because card card

T

=

card

T

.

Consider

β

card

T

.

Let

P

β

=

n

a

α

α

β

o

. Let

b

β

=

d

P

β

. Obviously

b

β

=

d

[

P

β

]

u

. We have

card[

P

β

]

u

= card

P

β

= card

β <

card

T

(used the lemma and von Neumann cardinal assignment). By the

assumption of induction

b

β

S

.

β

card

T

:

P

β

T

and thus

b

β

w

d

T

.

It is easy to see that the set

n

P

β

β

card

T

o

is a chain. Consequently

n

b

β

β

card

T

o

is a chain.

By the theorem conditions

b

=

d

n

b

β

β

card

T

o

S

(taken into account

that

b

β

S

by the assumption of induction).

Obviously

b

w

d

T

.

b

v

b

β

and so

β

card

T, α

β

:

b

v

a

α

. Let

α

card

T

. Then

(because card

T

is limit ordinal, see [

41

]) there exists

β

card

T

such

that

α

β

card

T

. So

b

v

a

α

for every

α

card

T

. Thus

b

v

d

T

.

Finally

d

T

=

b

S

.