4.2. FILTRATORS

54

Proof.

Let

a

be an atom of the lattice

A

. We have for every

X, Y

Z

X

t

Z

Y

up

a

X

t

A

Y

up

a

X

t

A

Y

w

a

X

t

A

Y

6

A

a

X

6

A

a

Y

6

A

a

X

w

a

Y

w

a

X

up

a

Y

up

a.

4.2.8. Some Criteria.

Theorem

320

.

For a semifiltered, star-separable, down-aligned filtrator (

A

;

Z

)

with finitely meet closed and separable core where

Z

is a complete boolean lattice

and both

Z

and

A

are atomistic lattices the following conditions are equivalent for

any

F ∈

A

:

1

.

F ∈

Z

;

2

.

S

A

:

F u

A

F

A

S

6

=

⊥ ⇒ ∃K ∈

S

:

F u

A

K 6

=

;

3

.

S

Z

:

F u

A

F

A

S

6

=

⊥ ⇒ ∃

K

S

:

F u

A

K

6

=

.

Proof.

Our filtrator is with join-closed core (theorem

292

).

1

2

Let

F ∈

Z

. Then (taking into account the proposition

310

)

F u

A

A

G

S

6

=

⊥ ⇔ F 6w

A

G

S

⇒ ∃K ∈

S

:

F 6w K ⇔ ∃K ∈

S

:

F u

A

K 6

=

.

2

3

Obvious.

3

1

Let the formula (3) be true. Then for

L

Z

and

S

= atoms

Z

L

it takes

the form

F u

A

A

G

6

=

⊥ ⇒ ∃

K

S

:

F u

A

K

6

=

that is

F u

A

L

6

=

⊥ ⇒ ∃

K

S

:

F u

A

K

6

=

because

F

A

atoms

Z

L

=

F

Z

atoms

Z

L

=

L

. That is

F u

A

L

⇒ F u

A

K

L

6

=

where

K

L

S

.

Thus

K

L

is an atom of both

A

and

Z

(see the theorem

316

), so having

F u

A

L

6

=

⊥ ⇒ F w

K

L

. Let

F

=

Z

G

K

L

L

Z

,

F u

A

L

6

=

.

Then

F

=

A

G

K

L

L

Z

,

F u

A

L

6

=

.

Obviously

F

v F

. We have

L

u

A

F 6

=

⊥ ⇒

K

L

u

Z

F

6

=

⊥ ⇒

L

u

Z

F

6

=

⊥ ⇒

L

u

A

F

6

=

, thus by star separability of our filtrator

F v

F

and so

F

=

F

Z

.

Definition

321

.

Let

S

be a subset of a meet-semilattice. The

filter base

generated by

S

is the set

[

S

]

u

=

a

0

u · · · u

a

n

a

i

S, i

= 0

,

1

, . . .

.