background image

4.2. FILTRATORS

53

Definition

315

.

I call a filtrator

star-separable

when its core is a separation

subset of its base.

4.2.6. Atomic Elements of a Filtrator.

See [

4

,

9

for more detailed treat-

ment of ultrafilters and prime filters.

Theorem

316

.

Let (

A

;

Z

) be a semifiltered down-aligned filtrator with finitely

meet-closed core

Z

which is a meet-semilattice. Then

a

is an atom of

Z

iff

a

Z

and

a

is an atom of

A

.

Proof.

. Obvious.

. We need to prove that if

a

is an atom of

Z

then

a

is an atom of

A

. Suppose the

contrary that

a

is not an atom of

A

. Then there exists

x

A

such that

⊥ 6

=

x

@

a

. Because “up” is a straight monotone map to the dual of the

poset

P

Z

(obvious

291

), up

a

up

x

. So there exists

K

up

x

such that

K /

up

a

. Also

a

up

x

. We have

K

u

Z

a

=

K

u

A

a

up

x

;

K

u

Z

a

6

=

and

K

u

Z

a

@

a

. So

a

is not an atom of

Z

.

Theorem

317

.

Let (

A

;

Z

) be a semifiltered down-aligned filtrator and

A

is a

meet-semilattice. Then

a

A

is an atom of

A

iff up

a

=

∂a

.

Proof.

. Let

a

be an atom of

A

. up

a

∂a

because

a

6

=

. up

a

∂a

because for any

K

A

K

up

a

K

w

a

K

u

A

a

6

=

⊥ ⇔

K

∂a.

. Let up

a

=

∂a

. Then

a

6

=

. Consequently for every

x

A

we have

0

@

x

@

a

x

u

A

a

6

=

⊥ ⇒

K

up

x

:

K

∂a

K

up

x

:

K

up

a

up

x

up

a

x

w

a.

So

a

is an atom of

A

.

4.2.7. Prime Filtrator Elements.

Definition

318

.

Let (

A

;

Z

) be a down-aligned filtrator.

Prime

filtrator ele-

ments are such

a

A

that up

a

is a free star.

Proposition

319

.

Let (

A

;

Z

) be a down-aligned filtrator with finitely join-

closed core, where

A

is a starrish join-semilattice and

Z

is a join-semilattice. Then

atomic elements of this filtrator are prime.