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4.2. FILTRATORS

52

Proof.

We will prove only the first as the second is dual.

B

A

A ⇔

A

up

A

:

B

A

A

A

up

A

:

B

u

A

A

=

⊥ ⇔

A

up

A

:

B

u

Z

A

=

⊥ ⇔

A

up

A

:

B

w

A

B

up

A ⇔

B

w A

.

4.2.4. Characterization of Finitely Meet-Closed Filtrators.

Theorem

311

.

The following are equivalent for a filtrator (

A

;

Z

) whose core is

a meet semilattice such that

a

A

: up

a

6

=

:

1

. The filtrator is finitely meet-closed.

2

. up

a

is a filter for every

a

A

.

Proof.

1

2

Let

X, Y

up

a

. Then

X

u

Z

Y

=

X

u

A

Y

w

a

. That up

a

is an upper set

is obvious. So taking into account that up

a

6

=

, up

a

is a filter.

2

1

It is enough to prove that

a

v

A, B

a

v

A

u

Z

B

for every

A, B

A

.

Really:

a

v

A, B

A, B

up

a

A

u

Z

B

up

a

a

v

A

u

Z

B.

4.2.5. Stars of Elements of Filtrators.

Definition

312

.

Let (

A

;

Z

) be a filtrator.

Core star

of an element

a

of a

filtrator is

∂a

=

x

Z

x

6

A

a

.

Proposition

313

.

up

a

∂a

for any non-least element

a

of a filtrator.

Proof.

For any element

X

Z

X

up

a

a

v

X

a

v

a

X

6

A

a

X

∂a.

Theorem

314

.

Let (

A

;

Z

) be a distributive lattice filtrator with least element

and finitely join-closed core which is a join semilattice. Then

∂a

is a free star for

each

a

A

.

Proof.

For every

A, B

Z

A

t

Z

B

∂a

A

t

A

B

∂a

(

A

t

A

B

)

u

A

a

6

=

A

(

A

u

A

a

)

t

A

(

B

u

A

a

)

6

=

A

A

u

A

a

6

=

A

B

u

A

a

6

=

A

A

∂a

B

∂a.

That

∂a

doesn’t contain

A

is obvious.