background image

4.2. FILTRATORS

51

Proof.

Cor

a

=

d

Z

up

a

w

Cor

0

a

because

A

up

a

: Cor

0

a

v

A

.

Theorem

301

.

Cor

0

a

= Cor

a

whenever both Cor

a

and Cor

0

a

exist for any

element

a

of a filtered filtrator.

Proof.

It is with join-closed core because it is semifiltered. So Cor

0

a

v

Cor

a

.

Cor

a

down

a

. So Cor

a

v

F

Z

down

a

= Cor

0

a

.

Obvious

302

.

Cor

0

a

= max down

a

for an element

a

of a filtrator with join-

closed core.

4.2.2. Filtrators with Separable Core.

Definition

303

.

Let (

A

;

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

up

x

:

X

A

y

)

.

Proposition

304

.

Let (

A

;

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with separable core

iff

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

up

x, Y

up

y

:

X

A

Y

)

.

Proof.

. Apply the definition twice.

. Obvious.

Definition

305

.

Let (

A

;

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with co-separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

down

x

:

X

A

y

)

.

Obvious

306

.

Co-separability is the dual of separability.

Definition

307

.

Let (

A

;

Z

) be a filtrator. It is a

filtrator with co-separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

down

x, Y

down

y

:

X

A

X

)

.

Proof.

By duality.

4.2.3. Intersection and Joining with an Element of the Core.

Definition

308

.

I call

down-aligned

filtrator such a filtrator (

A

;

Z

) that

A

and

Z

have common least element. (Let’s denote it

.)

Definition

309

.

I call

up-aligned

filtrator such a filtrator (

A

;

Z

) that

A

and

Z

have common greatest element. (Let’s denote it

>

.)

Theorem

310

.

For a filtrator (

A

;

Z

) where

Z

is a boolean lattice, for every

B

Z

,

A ∈

A

:

1

.

B

A

A ⇔

B

w A

if it is down-aligned, with finitely meet-closed and

separable core;

2

.

B

A

A ⇔

B

v A

if it is up-aligned, with finitely join-closed and co-

separable core.