background image

4.2. FILTRATORS

49

Obvious

271

.

The non-proper filter is

P

f

.

Remark

272

.

Some other authors require that all filters are proper. This is a

stupid idea and we allow non-proper filters, in the same way as we allow to use the

number 0.

4.1.2. Intro to filters on a meet-semilattice.

A trivial generalization of

the above:

Definition

273

.

A filter on a meet-semilattice

Z

is a

F ∈

P

Z

such that:

1

.

A, B

∈ F

:

A

u

B

∈ F

;

2

.

A, B

Z

: (

A

∈ F ∧

B

w

A

B

∈ F

).

4.1.3. Intro to filters on a poset.

Definition

274

.

A filter on a poset

Z

is a

F ∈

P

Z

such that:

1

.

A, B

∈ F ∃

C

∈ F

:

C

v

A, B

;

2

.

A, B

Z

: (

A

∈ F ∧

B

w

A

B

∈ F

).

It is easy to show (and there is a proof of it somewhere below) that this coincides

with the above definition in the case if

Z

is a meet-semilattice.

4.1.4. Intro to filtrators.

Filter

x

=

n

c

Z

c

w

x

o

is called the

principal filter

induced by

the element

x

. A filter is

principal

iff it is a principal filter induced by

some element.

I denote

P

the set of all principal filters (for a given poset

Z

).

FiXme

: Rewrite this paragraph.

Now let (only in this paragraph)

F

is an ar-

bitrary poset and

P

is its subset. I call pairs (

F

;

P

) of a poset with its subset

filtrators. And when

F

is the set of filters and

P

is the set of principal filters on

some poset I call them

primary filtrators

.

Filtrators are a more general case than the special case of filtrators on powersets.

4.2. Filtrators

Definition

275

.

I will call a

filtrator

a pair (

A

;

Z

) of a poset

A

and its subset

Z

A

. I call

A

the

base

of the filtrator and

Z

the

core

of the filtrator. I will also

say that (

A

;

Z

) is a filtrator

over

poset

Z

.

Definition

276

.

I will call a

lattice filtrator

a pair (

A

;

Z

) of a lattice

A

and its

subset

Z

A

.

Definition

277

.

I will call a

complete lattice filtrator

a pair (

A

;

Z

) of a complete

lattice

A

and its subset

Z

A

.

Definition

278

.

I will call a

central filtrator

a filtrator (

A

;

Z

(

A

)) where

Z

(

A

)

is the center of a bounded lattice

A

.

Definition

279

.

I will call

element

of a filtrator an element of its base.

Definition

280

.

up

a

=

n

c

Z

c

w

a

o

for an element

a

of a filtrator.

Definition

281

.

down

a

=

n

c

Z

c

v

a

o

for an element

a

of a filtrator.

Obvious

282

.

“up” and “down” are dual.

Our main purpose here is knowing properties of the core of a filtrator to infer

properties of the base of the filtrator, specifically properties of up

a

for every element

a

.

Definition

283

.

I call a filtrator

with join-closed core

such a filtrator (

A

;

Z

)

that

F

Z

S

=

F

A

S

whenever

F

Z

S

exists for

S

P

Z

.