background image

CHAPTER 4

Filters and filtrators

This chapter is based on my article [

29

].

This chapter is grouped in the following way:

First it goes a short introduction in pedagogical order (first less general

stuff and examples, last the most general stuff):

filters on a set;

filters on a meet-semilattice;

filters on a poset;

filtrators.

Then it goes the formal part in the order from the most general to the

least general:

filtrators;

filters on a poset;

filters on a set.

FiXme

: Rewrite this paragraph accordingly the rewrite plan.

Most theorems about

filtrators (and also some theorems about filters on posets) have the form

A

B

where

A

is the specific theorem condition and

B

is the main theorem statement.

To most such theorems correspond simple

B

when we restrict to consideration only

to the filtrator of filters on a fixed set. In some sense only

B

here is important,

A

here is a technical condition. So reading theorems about filtrators concentrate on

the theorem statement rather than on theorem conditions.

4.1. Introduction to filters and filtrators

4.1.1. Filters on a set.

We sometimes want to define something resembling

an infinitely small (or infinitely big) set, for example the infinitely small interval

near 0 on the real line. Of course there is no such set, just like as there is no natural

number which is the difference 2

3. To overcome this shortcoming we introduce

whole numbers, and 2

3 becomes well defined. In the same way to consider things

which are like infinitely small (or infinitely big) sets we introduce

filters

.

An example of a filter is the infinitely small interval near 0 on the real line. To

come to infinitely small, we consider all intervals (

;

) for all

 >

0. This filter

consists of all intervals (

;

) for all

 >

0 and also all subsets of

R

containing

such intervals as subsets. Informally speaking, this is the greatest filter contained

in every interval (

;

) for all

 >

0.

Definition

267

.

A filter on a set

f

is a

F ∈

PP

f

such that:

1

.

A, B

∈ F

:

A

B

∈ F

;

2

.

A, B

P

f

: (

A

∈ F ∧

B

A

B

∈ F

).

Exercise

268

.

Verify that the above introduced infinitely small interval near

0 on the real line is a filter on

R

.

Exercise

269

.

Describe “the neighborhood of positive infinity” filter on

R

.

Definition

270

.

A filter not containing empty set is called a

proper filter

.

48