background image

3.8. INFINITE ASSOCIATIVITY AND ORDINATED PRODUCT

41

1

. uncurry(curry(

f

)) =

f

for every

f

Z

`

i

X

Y

i

.

2

. curry(uncurry(

f

)) =

f

for every

f

Q

i

X

Z

Y

i

.

3.8.2.2.

Functions with ordinal numbers of arguments.

Let Ord be the set of

small ordinal numbers.

If

X

and

Y

are sets and

n

is an ordinal number, the set of functions taking

n

arguments on the set

X

and returning a value in

Y

is

Y

X

n

.

The set of all small functions taking ordinal numbers of arguments is

Y

S

n

Ord

X

n

.

I will denote OrdVar(

X

) =

f

S

n

Ord

X

n

and call it

ordinal variadic

. (“Var” in

this notation is taken from the word

variadic

in the collocation

variadic function

used in computer science.)

3.8.3. On sums of ordinals.

Let

a

be an ordinal-indexed family of ordinals.

Proposition

235

.

`

a

with lexicographic order is a well-ordered set.

Proof.

Let

S

be non-empty subset of

`

a

.

Take

i

0

= min Pr

0

S

and

x

0

= min

n

Pr

1

y

y

S,y

(0)=

i

0

o

(these exist by properties of

ordinals). Then (

i

0

;

x

0

) is the least element of

S

.

Definition

236

.

P

a

is the unique ordinal order-isomorphic to

`

a

.

FiXme

:

For finite ordinals it is just a sum of natural numbers.

This ordinal exists and is unique because our set is well-ordered.

Remark

237

.

An infinite sum of ordinals is not customary defined.

The

structured sum

L

a

of a is an order isomorphism from lexicographically

ordered set

`

a

into

P

a

.

There exists (for a given

a

) exactly one structured sum, by properties of well-

ordered sets.

Obvious

238

.

P

a

= im

L

a

.

Theorem

239

.

(

L

a

)(

n

;

x

) =

P

i

n

a

i

+

x

.

Proof.

We need to prove that it is an order isomorphism. Let’s prove it is an

injection that is

m > n

P

i

m

a

i

+

x >

P

i

n

a

i

+

x

and

y > x

P

i

n

a

i

+

y >

P

i

n

a

i

+

x

.

Really, if

m > n

then

P

i

m

a

i

+

x

P

i

n

+1

a

i

+

x >

P

i

n

a

i

+

x

. The second

formula is true by properties of ordinals.

Let’s prove that it is a surjection. Let

r

P

a

. There exist

n

dom

a

and

x

a

n

such that

r

= (

L

a

)(

n

;

x

). Thus

r

= (

L

a

)(

n

; 0) +

x

=

P

i

n

a

i

+

x

because

(

L

a

)(

n

; 0) =

P

i

n

a

i

since (

n

; 0) has

P

i

n

a

i

predecessors.

3.8.4. Ordinated product.

3.8.4.1.

Introduction. Ordinated product

defined below is a variation of Carte-

sian product, but is associative unlike Cartesian product. However, ordinated prod-

uct unlike Cartesian product is defined not for arbitrary sets, but only for relations

having ordinal numbers of arguments.

Let

F

indexed by an ordinal number be a small family of anchored relations.

3.8.4.2.

Concatenation.

Definition

240

.

Let

z

be an indexed by an ordinal number family of functions

each taking an ordinal number of arguments. The

concatenation

of

z

is

concat

z

= uncurry(

z

)

M

(dom

z

)

1

.