background image

3.8. INFINITE ASSOCIATIVITY AND ORDINATED PRODUCT

39

3.6. Partitioning

Definition

225

.

Let

A

be a complete lattice.

Torning

of an element

a

A

is

a set

S

P

A

\ {⊥}

such that

G

S

=

a

and

x, y

S

: (

x

6

=

y

x

y

)

.

Definition

226

.

Let

A

be a complete lattice.

Weak partition

of an element

a

A

is a set

S

P

A

\ {⊥}

such that

G

S

=

a

and

x

S

:

x

G

(

S

\ {

x

}

)

.

Definition

227

.

Let

A

be a complete lattice.

Strong partition

of an element

a

A

is a set

S

P

A

\ {⊥}

such that

G

S

=

a

and

A, B

P

S

: (

A

B

G

A

G

B

)

.

Obvious

228

.

1

. Every strong partition is a weak partition.

2

. Every weak partition is a torning.

3.7. A proposition about binary relations

Proposition

229

.

Let

f

,

g

,

h

be binary relations. Then

g

f

6

h

g

6

h

f

1

.

Proof.

g

f

6

h

a, c

:

a

((

g

f

)

h

)

c

a, c

: (

a

(

g

f

)

c

a h c

)

a, b, c

: (

a f b

b g c

a h c

)

b, c

: (

b g c

b h

f

1

c

)

b, c

:

b

(

g

(

h

f

1

))

c

g

6

h

f

1

.

3.8. Infinite associativity and ordinated product

3.8.1. Introduction.

We will consider some function

f

which takes an arbi-

trary ordinal number of arguments. That is

f

can be taken for arbitrary (small,

if to be precise) ordinal number of arguments. More formally: Let

x

=

x

i

n

be a

family indexed by an ordinal

n

. Then

f

(

x

) can be taken. The same function

f

can

take different number of arguments. (See below for the exact definition.)

Some of such functions

f

are associative in the sense defined below. If a function

is associative in the below defined sense, then the binary operation induced by this

function is associative in the usual meaning of the word “associativity” as defined

in basic algebra.

I also introduce and research an important example of infinitely associative

function, which I call

ordinated product

.

Note that my searching about infinite associativity and ordinals in Internet has

provided no useful results. As such there is a reason to assume that my research of

generalized associativity in terms of ordinals is novel.