background image

3.5. PARTIALLY ORDERED CATEGORIES

38

Monovalued. Let

f

and

g

be monovalued morphisms, Dst

f

= Src

g

. Then

(

g

f

)

(

g

f

)

=

g

f

f

g

v

g

1

Src

g

g

=

g

g

v

1

Dst

g

= 1

Dst(

g

f

)

.

So

g

f

is monovalued.

That identity morphisms are monovalued follows from the following:

1

A

(1

A

)

= 1

A

1

A

= 1

A

= 1

Dst 1

A

v

1

Dst 1

A

.

Entirely defined. Let

f

and

g

be entirely defined morphisms, Dst

f

= Src

g

. Then

(

g

f

)

(

g

f

) =

f

g

g

f

w

f

1

Src

g

f

=

f

1

Dst

f

f

=

f

f

w

1

Src

f

= 1

Src(

g

f

)

.

So

g

f

is entirely defined.

That identity morphisms are entirely defined follows from the follow-

ing:

(1

A

)

1

A

= 1

A

1

A

= 1

A

= 1

Src 1

A

w

1

Src 1

A

.

Definition

218

.

I will call a

bijective

morphism a morphism which is entirely

defined, monovalued, injective, and surjective.

Proposition

219

.

If a morphism is bijective then it is an isomorphism.

Proof.

Let

f

be bijective. Then

f

f

v

1

Dst

f

,

f

f

w

1

Src

f

,

f

f

v

1

Src

f

,

f

f

w

1

Dst

f

. Thus

f

f

= 1

Dst

f

and

f

f

= 1

Src

f

that is

f

is an inverse of

f

.

FiXme

: Below require that Mor-sets are complete lattices.

FiXme

: Add meta-*

examples for the category

Rel

.

Definition

220

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metamono-

valued

when (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

) whenever

G

is a set of morphisms with a

suitable domain and image.

Definition

221

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metainjective

when

f

(

d

G

) =

d

g

G

(

f

g

) whenever

G

is a set of morphisms with a suitable

domain and image.

Obvious

222

.

Metamonovaluedness and metainjectivity are dual to each other.

Definition

223

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metacomplete

when

f

(

F

G

) =

F

g

G

(

f

g

) whenever

G

is a set of morphisms with a suitable

domain and image.

Definition

224

.

A morphism

f

of a partially ordered category is

co-

metacomplete

when (

F

G

)

f

=

F

g

G

(

g

f

) whenever

G

is a set of morphisms

with a suitable domain and image.