 3.5. PARTIALLY ORDERED CATEGORIES

36

that is

G

z

A

z

v

a

z

u

b

=

=

G

z

atoms

a

z

u

b

=

=

G

(atoms

a

\

atoms

b

)

.

3.5. Partially ordered categories

3.5.1. Definition.

Definition

203

.

I will call a partially ordered (pre)category a (pre)category

together with partial order

v

on each of its Mor-sets with the additional requirement

that

f

1

v

f

2

g

1

v

g

2

g

1

f

1

v

g

2

f

2

for every morphisms

f

1

,

g

1

,

f

2

,

g

2

such that Src

f

1

= Src

f

2

and Dst

f

1

= Dst

f

2

=

Src

g

1

= Src

g

2

and Dst

g

1

= Dst

g

2

.

3.5.2. Dagger categories.

Definition

204

.

FiXme

: In index I sometimes use

pre-category

and sometimes

precategory.

I will call a

dagger precategory

a precategory together with an involutive

contravariant identity-on-objects prefunctor

x

7→

x

.

In other words, a dagger precategory is a precategory equipped with a function

x

7→

x

on its set of morphisms which reverses the source and the destination and

is subject to the following identities for every morphisms

f

and

g

:

1

.

f

††

=

f

;

2

. (

g

f

)

=

f

g

.

Definition

205

.

I will call a

dagger category

a category together with an

involutive contravariant identity-on-objects functor

x

7→

x

.

In other words, a dagger category is a category equipped with a function

x

7→

x

on its set of morphisms which reverses the source and the destination and is subject

to the following identities for every morphisms

f

and

g

and object

A

:

1

.

f

††

=

f

;

2

. (

g

f

)

=

f

g

;

3

. (1

A

)

= 1

A

.

Theorem

206

.

If a category is a dagger precategory then it is a dagger cate-

gory.

Proof.

We need to prove only that (1

A

)

= 1

A

. Really,

(1

A

)

= (1

A

)

1

A

= (1

A

)

(1

A

)

††

= ((1

A

)

1

A

)

= (1

A

)

††

= 1

A

.

For a partially ordered dagger (pre)category I will additionally require (for

every morphisms

f

and

g

with the same source and destination)

f

v

g

f

v

g.

An example of dagger category is the category

Rel

whose objects are sets and

whose morphisms are binary relations between these sets with usual composition

of binary relations and with

f

=

f

1

.