background image

3.3. QUASIDIFFERENCE AND QUASICOMPLEMENT

32

Proposition

186

.

Let

A

be a join-semilattice.

S

P

A

is a free star iff the

least element (if it exists) is not in

S

and for every

X, Y

A

X

t

Y

S

X

S

Y

S.

Proof.

. We need to prove only

X

t

Y

S

X

S

Y

S

what follows from that

S

is an upper set.

. We need to prove only that

S

is an upper set. Let

X

S

and

X

v

Y

A

.

Then

X

S

X

S

Y

S

X

t

Y

S

Y

S

. So

S

is an upper

set.

3.2.1. Starrish posets.

Definition

187

.

I will call a poset

starrish

when the full star

?a

is a free star

for every element

a

of this poset.

Proposition

188

.

Every distributive lattice is starrish.

Proof.

Let

A

be a distributive lattice,

a

A

. Obviously

/

?a

(if

exists);

obviously

?a

is an upper set. If

x

t

y

?a

, then (

x

t

y

)

u

a

is non-least that is

(

x

u

a

)

t

(

y

u

a

) is non-least what is equivalent to

x

u

a

or

y

u

a

being non-least

that is

x

?a

y

?a

.

Theorem

189

.

If

A

is a starrish join-semilattice lattice then

atoms(

a

t

b

) = atoms

a

atoms

b

for every

a, b

A

.

Proof.

For every atom

c

we have:

c

atoms(

a

t

b

)

c

6

a

t

b

a

t

b

?c

a

?c

b

?c

c

6

a

c

6

b

c

atoms

a

c

atoms

b.

3.3. Quasidifference and Quasicomplement

I’ve got quasidifference and quasicomplement (and dual quasicomplement) re-

placing max and min in the definition of pseudodifference and pseudocomplement

(and dual pseudocomplement) with

F

and

d

. Thus quasidifference and (dual)

quasicomplement are generalizations of their pseudo- counterparts.

Remark

190

.

Pseudocomplements

and

pseudodifferences

are standard termi-

nology.

Quasi-

counterparts are my neologisms.

Definition

191

.

Let

A

be a poset,

a

A

.

Quasicomplement

of

a

is

a

=

G

c

A

c

a

.

Definition

192

.

Let

A

be a poset,

a

A

.

Dual quasicomplement

of

a

is

a

+

=

l

c

A

c

a

.