 3.2. FREE STARS

31

2

4

Let our semilattice be atomically separable. Let

a

@

b

. Then atoms

a

atoms

b

and there exists

c

atoms

b

such that

c /

atoms

a

.

c

6

=

and

c

v

b

, from which (taking into account that

c

is an atom)

c

v

b

and

c

u

a

=

. So our semilattice conforms to the formula (4).

4

2

Let formula (4) hold. Then for any elements

a

@

b

there exists

c

6

=

such that

c

v

b

and

c

u

a

=

. Because

A

is atomic there exists atom

d

v

c

.

d

atoms

b

and

d /

atoms

a

. So atoms

a

6

= atoms

b

and atoms

a

atoms

b

. Consequently atoms

a

atoms

b

.

Theorem

181

.

Any atomistic meet-semilattice with least element is separable.

Proof.

From the above.

3.2. Free Stars

Definition

182

.

An

upper set

is such a set

F

P

Z

that

X

F, Y

Z

: (

Y

w

X

Y

F

)

.

Definition

183

.

Let

A

be a poset.

Free stars

on

A

are such

S

P

A

that the

least element (if it exists) is not in

S

and for every

X, Y

A

Z

A

: (

Z

w

X

Z

w

Y

Z

S

)

X

S

Y

S.

Proposition

184

.

S

P

A

where

A

is a poset is a free star iff all of the

following:

1

. The least element (if it exists) is not in

S

.

2

.

Z

A

: (

Z

w

X

Z

w

Y

Z

S

)

X

S

Y

S

for every

X, Y

A

.

3

.

S

is an upper set.

Proof.

.

1

and

2

are obvious. Let prove that

S

is an upper set. Let

X

S

and

X

v

Y

A

. Then

X

S

Y

S

and thus

Z

A

: (

Z

w

X

Z

w

X

Z

S

) that is

Z

A

: (

Z

w

X

Z

S

), and so

Y

S

.

. We need to prove that

Z

A

: (

Z

w

X

Z

w

Y

Z

S

)

X

S

Y

S.

Let

X

S

Y

S

. Then

Z

w

X

Z

w

Y

Z

S

for every

Z

A

because

S

is an upper set.

Proposition

185

.

Let

A

be a join-semilattice.

S

P

A

is a free star iff all of

the following:

1

. The least element (if it exists) is not in

S

.

2

.

X

t

Y

S

X

S

Y

S

for every

X, Y

A

.

3

.

S

is an upper set.

Proof.

. We need to prove only

X

t

Y

S

X

S

Y

S

. Let

X

t

Y

S

.

Because

S

is an upper set, we have

Z

A

: (

Z

w

X

t

Y

Z

S

)

and thus

Z

A

: (

Z

w

X

Z

w

Y

Z

S

) from which we conclude

X

S

Y

S

.

. We need to prove

Z

A

: (

Z

w

X

Z

w

Y

Z

S

)

X

S

Y

S

.

But it trivially follows from that

S

is an upper set.