background image

18.6. COUNTER-EXAMPLES AND CONJECTURES

296

It can be

Y

u

F

X

=

F

x

X

(

Y

u

x

) only if

Y

is principal: Really:

Y

u

F

X

=

F

x

X

(

Y

u

x

) implies

Y

6

F

X

F

x

X

(

Y

u

x

)

6

= 0

⇒ ∃

x

X

:

Y

6

x

and thus

Y

is principal. But we claimed above that it is nonprincipal.

Example

1532

.

There exists a staroid

f

and an indexed family

X

of principal

filters (with arity

f

= dom

X

and (form

f

)

i

= Base(

X

i

) for every

i

arity

f

), such

that

f

v

Q

Strd

X

and

Y

u

X /

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Remark

1533

.

Such examples obviously do not exist if both

f

is a principal

staroid and

X

and

Y

are indexed families of principal filters (because for powerset

algebras staroidal product is equivalent to Cartesian product). This makes the

above example inspired.

Proof.

(

Monroe Eskew

) Let

a

be any (trivial or nontrivial) ultrafilter on

an infinite set

U

. Let

A, B

a

be such that

A

B

A, B

. In other words,

A

,

B

are arbitrary nonempty sets such that

∅ 6

=

A

B

A, B

and

a

be an ultrafilter on

A

B

.

Let

f

be the staroid whose graph consists of functions

p

:

U

a

such that

either

p

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

p

(

n

)

B

for all but finitely many

n

.

Let’s prove

f

is really a staroid.

It’s obvious

px

6

=

for every

x

U

. Let

k

U

,

L

a

U

\{

k

}

. It is enough

(taking symmetry into account) to prove that

L

∪ {

(

k

;

x

t

y

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

k

;

x

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

k

;

y

)

} ∈

GR

f.

(29)

Really,

L

∪ {

(

k

;

x

t

y

)

} ∈

GR

f

iff

x

t

y

a

and

L

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

L

(

n

)

B

for all but finitely many

n

;

L

∪ {

(

k

;

x

)

} ∈

GR

f

iff

x

a

and

L

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

L

(

n

)

B

; and similarly for

y

.

But

x

t

y

a

x

a

y

a

because

a

is an ultrafilter. So, the formula (

29

)

holds, and we have proved that

f

is really a staroid.

Take

X

be the constant function with value

A

and

Y

be the constant function

with value

B

.

p

GR

f

:

p

6

X

because

p

i

X

i

a

; so GR

f

GR

Q

Strd

X

that is

f

v

Q

Strd

X

.

Finally,

Y

u

X /

GR

f

because

X

u

Y

=

λi

U

:

A

B

.

Some conjectures similar to the above example:

Conjecture

1534

.

There exists a completary staroid

f

and an indexed family

X

of principal filters (with arity

f

= dom

X

and (form

f

)

i

= Base(

X

i

) for every

i

arity

f

), such that

f

v

Q

Strd

X

and

Y

u

X /

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Conjecture

1535

.

There exists a staroid

f

and an indexed family

x

of ultra-

filters (with arity

f

= dom

x

and (form

f

)

i

= Base(

x

i

) for every

i

arity

f

), such

that

f

v

Q

Strd

x

and

Y

u

x /

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Other conjectures:

Conjecture

1536

.

If staroid

⊥ 6

=

f

v

a

n

Strd

for an ultrafilter

a

and an index

set

n

, then

n

×{

a

} ∈

GR

f

. (Can it be generalized for arbitrary staroidal products?)

Conjecture

1537

.

The following posets are atomic:

1

. anchored relations on powersets;

2

. staroids on powersets;

3

. completary staroids on powersets.

Conjecture

1538

.

The following posets are atomistic:

1

. anchored relations on powersets;